复变函数与积分变换(马柏林)课后的习题答案(3)

Re e x y e2

x

y x2 y 2

i

2x 2 y y Re e x y cos 2 i sin 2 x y2 x y 2 2 2 y e

x y cos 2 2 x y

x

u v v u i , i x y y 它们分别为 x u v u v , x ∴ x y y

(4)ei 2 x iy ei e 2 x iy e 2 x e 2iy e 2 x

∴满足 C-R 条件. (3)当 z 沿 y=x 趋向于零时，有

14. 设 z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论 f(z)=z+ez 的极限. 解：令 z=reiθ,8 / 24

复变函数与积分变换 复旦大学出版社

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

对于 θ,z→∞时，r→∞. 故lim rei e rer i

lim rei er cos isin r

3 . e e

5

eln 3

5

e

5 ln 3

5 ln 3 i π 2 kπi 5 ln 3

e

5 ln 3 5i π 2 kπ 5i

所以

lim f z z

cos 2k 1 π i

5 i sin 2k 1 π 5

.

3 5 cos 2k 1 π 5 i sin 2k 1 π 5 1 i eln1 e i ln1 e i ln1 i 0 2 kπi

15. 计算下列各值. (1)3 ln 2 3i =ln 13 i arg 2 3i ln 13 i π arctan 2

(3)

e i 2 kπi e2 kπ1 i

(2)π π ln 3 3i ln 2 3 i arg 3 3i ln 2 3 i ln 2 3 i 6 6

1 i ( 4) 2

e e e

1 i ln 2

1 i

e

1 i ln 1 i 2

1 i ln1 i π 2 kπi 4 π π 2 kπi i 2 kπ 4 4 π 2 kπ π

e 2 kπ

1 i 2 kπi π i 4 π i 2 kπ 4

(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i (4)π ln ie ln e i arg ie 1 i 2 16. 试讨论函数 f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性. 解：显然 g(z)=|z|在复平面上连续，lnz 除负实轴及原 点外处处连续.

e4

e

e4 e4

π π cos i sin 4 4 2 2 i 2 2

π

2 kπ

设 z=x+iy,

g ( z ) | z | x 2 y 2 u x, y iv x, y

18. 计算下列各值 (1)

u x, y x 2 y 2 , v x , y 01 u 1 2 x y2 2 2x x 2

在复平面内可微. u y y x y22

x x y2 2

ei π 5i e i π 5i eiπ 5 e iπ 5 2 2 e 5 e5 1 e 5 e5 e5 e 5 ch 5 2 2 2 (2) cos π 5i ei 1 5i e i 1 5i ei 5 e i 5 2i 2i 5 5 e cos1 i sin1 e cos1 i sin1 2i e 5 e 5 e5 e 5 sin1 i cos1 2 2 sin 1 5i

v 0 x

v 0 y

故 g(z)=|z|在复平面上处处不可导. 从而 f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导. f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续. 17. 计算下列各值. (1)

(3)ei 3 i e i 3 i sin 3 i sin 6 i sin 2 2i tan 3 i 3 i ei 3 i e i 3 i 2 ch 2 1 sin 2 3 cos 2i

1 i 1 i eln 1 i e 1 i ln 1 i e π π eln 2 i ln 2i 2kπ 4 4 e eπ ln 2 2 kπ 4 π ln 2 2 kπ 4

1 i

1 i ln 2 π i 2 kπi 4

(4)sin z 2

e

π i ln 2 4

π π cos ln 2 i sin ln 2 4 4 π π cos ln 2 i sin ln 2 4 4

1 y xi 2 e e y xi sin x ch y i cos x sh y 2i sin 2 x ch 2 y cos 2 x sh 2 y sin 2 x ch 2 y sh 2 y cos 2 x sin 2 x sh 2 y sin 2 x sh 2 y

2

2 e

2 kπ

π 4

(2)

(5)

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复变函数与积分变换 复旦大学出版社

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

arcsin i i ln i 1 i 2 i ln 1 2 i ln 2 1 i2kπ k 0, 1, i ln 2 1 i π 2kπ

(2)cosz=cosx chy-isinx shy 证明：cos z eiz e iz 1 i x yi e e i x yi 2 2 1 e y xi e y xi 2 1 y e cos x i sin x e y . cos x i sin x 2 e y e y e y e y .cos x i sin x. 2 2 cos x.ch y i sin x.sh y

(6)i 1 i 1 2i i 2 1 arctan 1 2i ln ln i 2 1 i 1 2i 2 5 5 1 i kπ arctan 2 ln 5 2 4

19. 求解下列方程 (1) sinz=2. 解：1 z arcsin 2 ln 2i 3i ln 2 3 i i 1 i ln 2 3 2k πi 2 1 2k π i ln 2 3 , k 0, 1, 2

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明：sin z 1 y xi e e y xi sin x ch y i cos x sh y 2i

sin z sin 2 x ch 2 y cos 2 x.sh 2 y2

sin 2 x ch 2 y sh 2 y cos 2 x sin 2 x sh 2 y sin 2 x sh 2 y

(2) e 1 3i 0z

z 解： e 1 3i

即

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y 证明： cos z cos x ch y isin x sh y

π z ln 1 3i ln 2 i 2kπi 3 1 ln 2

2k πi 3

cos z cos 2 x.ch 2 y sin 2 x.sh 2 y2

(3)π ln z i 2

cos 2 x ch 2 y sh 2 y cos 2 x sin 2 x .sh 2 y cos 2 x sh 2 y

解：

ln z

π i 2

π

2 即z e i

i

(4) z ln 1 i 0 解z l π kπi 4

21. 证明当 y→∞时， |sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无 穷大. 证明： :1 k πi n 4 .

sin z

1 iz 1 e e iz e y xi e y xi 2i 2i

sin z y xi ∴e

20. 若 z=x+iy,求证 (1) sinz=sinxchy+icosx shy 证明：sin z e e e e 2i 2i 1 y xi . e e y xi 2i sin x ch y i cos x.sh yiz iz i x iy x yi i

1 y xi e l e y xi 2 e y e y xi e y

1

而 当 y→+∞时，e-y→0,ey→+∞有|sinz|→∞. 当 y→-∞时，e-y→+∞,ey→0 有|sinz|→∞. 1 1 cos x iy e y xi e y xi ≥ e y e y 2 2 同理得 所以当 y→∞时有|cosz|→∞.10 / 24

sin z

≥

1 y xi e e y xi 1 e y e y 2 2

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