复变函数与积分变换(马柏林)课后的习题答案(5)

1 i 2 n 1 1 ( 1) n i 1 ( 1) n i n n n n 1 n 1 n 1 n

an 1

2

n

绝对收敛.

证明:设2 2 2 an xn i yn , an ( xn i yn ) 2 xn yn 2 xn yn i

1 1 i 2 n 1 因为 发散,所以 发散 n n 1 n 1 n

因为

an 1

n

和 an 2 收敛n 1

1 5i 26 n ( ) 发散 (2) 2 2 n 1 n 1 n

2 所以 xn , yn , ( xn yn ) , xn yn 收敛 n 1 n 1 n 1 n 1

又因为 lim( n

1 5i n 1 5 ) lim( i)n 0 n 2 2 2n

又因为 Re(an ) 0 , 所以 xn 0 且 lim xn lim xn 0 n n 22 当 n 充分大时, xn xn

1 5i ) 发散 所以 ( 2 n 1πi

(3)

n 1

en 1 n n 1 n

发

散

,

又

因

为

所以2

xn 1

2 n

收敛

π π cos i sin e n n 1 (cos π i sin π ) 收 n n n n n n 1 n 1 n 1 iπ n

2 2 2 2 2 an xn yn 2 xn ( xn yn )

敛,所以不绝对收敛. (4)

而

2xn 1

2 n

收敛，

(xn 1

2 n

2 yn ) 收敛

n 1

in 1 ln n n 1 ln n

所以

n 1

an 收敛，从而级数 an 2 绝对收敛.2 n 1

1 1 因为 ln n n 1所以级数不绝对收敛. 又因为当 n=2k 时, 级数化为

4.讨论级数 ( z n 1 z n ) 的敛散性n 0

k 1 k n 1 解 因为部分和 sn ( z z ) z 1 ,所以，

n

k 1

( 1) k ln 2 k

收敛

k 0

当 z 1时, sn 115 / 24

复变函数与积分变换 复旦大学出版社

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

当z 1时, sn 0 , 当z 1时, sn 不存在.当 z e 而 0 时(即 z 1, z 1) ,cosnθ 和 sinnθ 都没有极限,所以也不收敛.i

Cn 1 C 1 1 1 b n 1 lim n 1

解： 因为 lim Cn n n C b R b n n b所以 R R b

当 z >1时, sn .故当 z 1和 z 1 时,

( z n 1 z n ) 收敛.n 0

8. 证 明 ： 若 幂 级 数n l i m an ,则 n

a zn 0 n

n

的

系数满足

5.幂级数 处发散.

C ( z 2)n 0 n

n

能否在 z=0 处收敛而在 z=3

1 (1)当 0 时, R

解： 设 lim n

Cn 1 1 ,则当 z 2 时，级数收 Cn

(2) 当 0 时, R (3) 当 时, R 0 证明：考虑正项级数

敛， z 2

1

a z时发散.n 0 n

n

a1 z a2 z 2 ... an z n ...n

若在 z=0 处收敛,则

1

i a n i n 由 于 l nm n z n n l an m z z n

, 若

2

0 正项级数的根值判别法知，当 ，由 z 1时 ， 即 z 1 时，

若在 z=3 处发散, 则

1

1

a zn 0 n

n

收敛。当

显然矛盾,所以幂级数 收敛而在 z=3 处发散

C ( z 2)n 0 n

n

不能在 z=0 处

z 1时 ， 即 z

1

时 ， an z n

2

不能趋于

n 零, lim n an z 1级数发散.故收敛半径 R 1 n

.

6.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. (2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有 奇点. 答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能 收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆 周内是解析的.

当 0 时, z 1 ,级数收敛且 R .n 若 ,对 z 0, 当充分大时,必有 an z 不能 2

趋于零,级数发散.且 R 0

9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。 (1) ( z pi) n n 0 n

Cn n 7.若 Cn z 的收敛半径为 R,求 n z 的收敛半 n 0 n 0 bn

(2)

nn 0

p

z n

径。

(3)

( i)n 0

n 1

2n 1 2 n 1 z 2n

(4)16 / 24

(n)n 0

i

n

( z 1) n ( n 1)

复变函数与积分变换 复旦大学出版社

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

解: (1)

解: (1)

lim

n

1 (n 1) p

n p 1 p 1 lim( ) lim(1 ) 1 p n n 1 n n n 1

lim

n

Cn 1 n 1 lim 1 n n Cn

R 1收敛圆周 故收敛半径 R=1,由逐项积分性质，有：

z i 1(2)

z

0

( 1)n nz n-1dz ( 1)n z n n 1 n 1

z 1 z

(n 1) p lim 1 n np R 1所以收敛圆周z 1

所以

( 1)n 1

n

z 1 nz n -1 ( ) , z 1 1 z (1 z ) 2

于是有：n 1

(3) 记 f n ( z ) ( i) 由比值法,有limn

2n 1 n z 2 n 1 22 n 1

( 1)n 1

n 1

nz n

z ( 1) n n z n 1 n 1

z (1 z )2

z 1

(2) 令：s ( z ) ( 1) n n 0

(2n 1) 2 n z f n 1 ( z ) 1 2 lim z 2 n 1 2 n 1 n fn ( z) 2 (2n 1) 2 z

z 2n (2n)!

要级数收敛,则

lim

n

z 2级数绝对收敛,收敛半径为

Cn 1 1 lim 0. n (2n 1)(2n 2) Cn

故 R=∞, 由逐项求导性质

R 2所以收敛圆周

s ( z ) ( 1) n n 1

z 2 n 1 (2n 1)!

s ( z ) ( 1) n n 1

z 2i n n ( n 1) (4) 记 f n ( z ) ( ) ( z 1) nlim n f n ( z ) lim nn n

z 2n 2 z 2m z 2n 由 ( 1) m +1 (m n 1) ( 1) n (2n 2)! m 0 (2m)! (2n)! n 0

此得到 s ( z ) s( z ) 即有微分方程 s ( z ) s( z ) 0z 1 nn 1

( z 1) nn

n ( n 1)

limn

,

若 1 若 1

故有： s( z ) A cos z B sin z , A, B 待定。

所以

z 1 1 时绝对收敛,收敛半径 R 1 z 1 1

由S(0) A [ ( 1) n n 0

z 2n ]z 0 1 A 1 (2n)!z 2 n 1 ]z 0 0 B 0 (2n 1)!

收敛圆周

s (0) sin z B cos z [ ( 1) n n 1

10.求下列级数的和函数. (1)

所以

( 1)n 1

n 1

nz n

(2)

( 1)n 0

n

z 2n (2n)!

( 1)n n 0

z 2n cos z. R …… 此处隐藏：2424字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……