精修版数学人教A版选修4-4优化练习：第二讲 二 第一课时 椭圆的

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．椭圆?????

x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( ) A ．π

B.π2 C ．2π D.32

π 解析：∵点(－a,0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案：A

2．椭圆?????

x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率为( ) A.45

B.35

C.34

D.925

解析：椭圆方程为x 225＋y 216＝1，可知a ＝5，b ＝4，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝c a ＝35

. 答案：B

3．椭圆?????

x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( ) A ．(0,0)，(0，－8)

B ．(0,0)，(－8,0)

C ．(0,0)，(0,8)

D ．(0,0)，(8,0)

解析：椭圆中心(4,0)，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故焦点坐标为(0,0)(8,0)，应选D. 答案：D

4．已知椭圆的参数方程?????

x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( )

A.π3

B.π6

C.2π3

D.5π6

解析：M 点的坐标为(2,23)，tan α＝3，α＝π3

. 答案：A

5．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( )

A ．26

B ．4 C.2＋ 6 D ．2 2

解析：椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)，x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin ????θ＋π3≤2 2.

答案：D

6．椭圆?????

x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________． 解析：∵a ＝5，b ＝2，c ＝25－4＝21，∴2c ＝221 . ∴焦距为221. 答案：221

7．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．

解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，

所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则

2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，

其中sin φ＝45，cos φ＝35

. 当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5.

答案：5

8．已知椭圆的参数方程为?????

x ＝2cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)，点M 在椭圆上，对应的参数φ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．

解析：当φ＝π3时，??? x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，

故点M 的坐标为(1,23)．

所以直线OM 的斜率为2 3. 答案：2 3

9．椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．

解析：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1， 则a ＝3，c ＝5，∴b ＝2，

∴椭圆的普通方程为x 232＋y 2

22＝1，化为参数方程得?????

x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．

10．如图，由椭圆x 24＋y 29

＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．

解析：椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为?????

x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)， ∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)．

∴??? x ＝2cos θ＋

2cos θ2＝2cos θ，y ＝3sin θ2，

消去θ，得x 24＋4y 29

＝1，即为点P 的轨迹方程． [B 组 能力提升]

1．两条曲线的参数方程分别是????? x ＝cos 2θ－1，y ＝2－sin 2θ(θ为参数)和?????

x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．2 解析：由

?????

x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ， 得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，

由?????

x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1. 如图所示，可知两曲线交点有1个．

答案：B

2．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29

＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△P AB 的面积等于4，这样的点P 共有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 解析：如图，|AB |＝5，

12|AB |·h ＝4，h ＝85

. 设点P 的坐标为(4cos φ，3sin φ)，代入3x ＋4y －12＝0中，

|12(sin φ＋cos φ)－12|5＝85

， ????2sin ????φ＋π4－1＝23

， 当2sin ????φ＋π4－1＝23

时，sin ????φ＋π4＝526＞1，此时无解； 当2sin ????φ＋π4－1＝－23

时，sin ????φ＋π4＝26，此时有2解．∴应选B. 答案：B

3．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：?????

x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.

解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 2

9

＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为????32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：32

4．已知椭圆的参数方程为?????

x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6

，则直线MN 的斜率为________． 解析：当t ＝π3时，??? x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3

＝23，

即M (1,23)，同理N (3，2)．

k MN ＝23－21－3＝－2. 答案：－2

5．已知直线l ：x －y ＋9＝0和椭圆C ：??? x ＝23cos θ，y ＝3sin θ

(θ为参数)． (1)求椭圆C 的两焦点F 1，F 2的坐标；

(2)求以F 1，F 2为焦点且与直线l 有公共点M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．

解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为x 212＋y 2

3＝1， 所以a 2＝12，b 2＝3，c 2＝a 2－b 2＝9.

所以c ＝3.

故F 1(－3,0)，F 2(3,0)．

(2)因为2a ＝|MF 1|＋|MF 2|，

所以只需在直线l ：x －y ＋9＝0上找到点M 使得|MF 1|＋|MF 2|最小即可． 点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点是F 1′ (－9,6)，所以M 为F 2F 1′与直线l 的交点，则 |MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1′|＋|MF 2|＝|F 1′F 2|

＝ (－9－3)2＋(6－0)2＝65，故a ＝3 5.

又c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝36.

此时椭圆方程为x 2

45＋y 236

＝1. 6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)和定点A (0，b )，B (0，－b )，C 是椭圆上的动点，求△ABC 的垂心H 的轨迹．

解析：由椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)知，椭圆的参数方程为????? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)， 所以椭圆上的动点C 的坐标设为(a cos φ，b sin φ)， 所以直线AC 的斜率为k AC ＝

b sin φ－b a cos φ，A C 边上的垂线的方程为y ＋b ＝－a cos φb sin φ－b

x ， ①

直线BC 的斜率为k BC ＝b sin φ＋b a cos φ，BC 边上的垂线的方程为y －b ＝－a cos φb sin φ＋b

x ， ② 由方程①②相乘消去φ可得y 2－b 2＝a 2cos 2φb 2(sin 2φ－1)x 2，即a 2b 2x 2＋y 2＝b 2，又点C 不能与A 、B 重合，所以y ≠±b ，

故H 点的轨迹方程为a 2b 2x 2＋y 2＝b 2，去掉点(0，b )和点(0，－b )．