选修4-4第一讲简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程

选修4 选修4-4坐标系与参数方程

第一讲

坐标系

三. 简单曲线的极坐标方程

问题提出1.在极坐标系中， 1.在极坐标系中，点M的极坐标是怎样构成的？ 在极坐标系中 的极坐标是怎样构成的？

M ρ

θO x点M的极坐标是极径ρ和极角θ组成的有序数对 的极坐标是极径ρ和极角θ (ρ, (ρ,θ).

2.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极 2.以直角坐标系原点O为极点， 以直角坐标系原点 轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x y)与极坐 (x, 轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x,y)与极坐 的互化公式是什么？ (ρ, 标(ρ,θ)的互化公式是什么？

x=ρcosθ, y=ρsinθ.y ρ = x + y , tan θ = ( x ≠ 0) x2 2

3.在平面直角坐标系中， 3.在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0是曲 在平面直角坐标系中 的方程应具备的条件是什么？ 线C的方程应具备的条件是什么？ (1)曲线C上任意一点的坐标都是方程 f(x,y) 曲线C 的解； =0的解； (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点 都在曲线 C 上. 4.在极坐标系中 对一条曲线C 在极坐标系中， 4.在极坐标系中，对一条曲线C,它也有相应 的极坐标方程.因此，如何建立曲线的极坐标方程， 的极坐标方程.因此，如何建立曲线的极坐标方程， 如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质， 如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质， 也就成为一个需要研究的课题. 也就成为一个需要研究的课题.

探究:圆的极坐标方程思考：在极坐标系中， 思考：在极坐标系中，若半径为a的圆的圆心坐标 0), 为C(a,0)(a>0),则该圆与极坐标系的相对位置 关系怎样？试画图表示. 关系怎样？试画图表示.

O

C

x

思考：设该圆与极轴的另一个交点为A 思考：设该圆与极轴的另一个交点为A,点M(ρ, M(ρ, θ)为圆上除点O,A以外的任意一点，那么极径ρ 为圆上除点O 以外的任意一点，那么极径ρ 之间满足什么关系？ 和极角θ之间满足什么关系？ M ρ

ρ=2acos = cos cosθ

O

θ

C

A x

思考3 思考3:点O,A的极坐标可以分别是什么？它们都 的极坐标可以分别是什么？ 满足等式ρ=2acosθ吗？ 满足等式ρ 点 O (0,

π

2

0)都满足等式 都满足等式. ) ,A(2a,0)都满足等式.

思考：由此可知， 思考：由此可知，圆上任意一点的极坐标(ρ, 中至少有一个满足等式ρ (ρ,θ)中至少有一个满足等式ρ=2acosθ; 反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？ 反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？ M ρ O

θ

C

A x

都在这个圆上 都在这个圆上

思考：等式ρ 叫做圆C的极坐标方程. 思考：等式ρ=2acosθ叫做圆C的极坐标方程.一 般地，在极坐标系中，对于平面曲

线C (ρ, 般地，在极坐标系中，对于平面曲线C和方程f(ρ, θ)=0,在什么条件下，方程f(ρ,θ)=0是曲 在什么条件下， (ρ, 的极坐标方程？ 线C的极坐标方程？ (1)曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满 曲线C (ρ, 足方程f(ρ,θ)=0; (ρ, 的点都在曲线C (2)坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C 上.

思考：在极坐标系中，圆心坐标为C( 思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a,π)(a> 的圆的极坐标方程是什么？ 0), 0),半径为a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标 π )(a>0),半径为a的圆的极坐标方程是 0), 为C(a, 2 什么？ 什么？ A M M ρ ρ θ C A θ O x C O x

ρ=-2acosθ =-2 cos

ρ=2asinθ sin

思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C( 思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C(a, 0), 的圆的极坐标方程是什么？ α)(a>0),半径为r的圆的极坐标方程是什么？ 特别地，以极点为圆心， 特别地，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标方 程是什么？ 程是什么？ C ρ O M ρ O x2

M

θ

ρ=r =x

θ2

ρ + a 2a ρ cos(θ α ) = r2

思考：一般地， 思考：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤是什么？ 是什么？ 建立极坐标系，设动点坐标； (1)建立极坐标系，设动点坐标； (2)找出曲线上的点满足的几何条件； 找出曲线上的点满足的几何条件； (3)将几何条件用极坐标表示； 将几何条件用极坐标表示； 化简小结. (4)化简小结.建立极坐标系 下结论 设点( θ 设点(ρ,θ) 找ρ,θ的关系 θ

化简 F(ρ,θ)=0 ρθ

练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1) ρ=2cos(θ (2) (3)

π4

)

ρ=cos( -θ )3

π

ρ=3 sin θ (4) ρ=6

练 习求下列圆的极坐标方程 中心在极点，半径为2 (1)中心在极点，半径为2; (2)中心在C(a,0),半径为a; 中心在C ,0), (3)中心在(a,π/2),半径为a; 中心在(a,π 2),

ρ =2ρ=2acos θ ρ=2asin θ

(4)中心在C(ρ0,θ0),半径为r。 中心在C

ρ2+ ρ0 2 -2 ρ ρ0 cos( θ- θ0)= r2

练 习极坐标方程分别是ρ cosθ和 极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ 的两个圆的圆心距是多少

2 2

练习3以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆 以极坐标系中的点(1,1)为圆心， (1,1)为圆心 的方程是

C

π A.ρ = 2cos θ 4 C.ρ = 2cos (θ 1)

π B.ρ = 2sin θ 4 D.ρ = 2sin (θ 1)

练习： 1、曲线的极坐标方程ρ=4sin θ 化为直角坐标

x + ( y 2) = 4 方程_________2 2

2.曲线极坐标方程ρcos(θ -

π6

)=1化为直角坐

3x + y 2 = 0 标方程_________

π 表示的曲线是( 3.极坐标方程 ρ = c

os θ 表示的曲线是( ) 4 A.双曲线 4 .圆 B.椭圆 C.抛物线 D .圆

ρ = 2 (cos θ + sin θ ) 的圆心坐标是( ) π 1 π B. π C. π D. A. , 1, 2, 2 , 4 2 4 4 4

小

结

(1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 ( 3)圆的极坐标方程 a.在极坐标系中，点的极坐标是多值的， a.在极坐标系中，点的极坐标是多值的，若点 在极坐标系中 在曲线C 则点M M在曲线C上，则点M的有些极坐标可能不适合曲线 的方程. C的方程. 圆的极坐标方程有多种形式， b. 圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程 2 2 2 ρ + a 2a ρ cos(θ α ) = r 可认为是圆的 一般式方程. 一般式方程.

3.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化， 3.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化， 极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化 当研究对象与角和距离有关时， 当研究对象与角和距离有关时，用极坐标方程解 决比较方便，这是一个重要的解题技巧. 决比较方便，这是一个重要的解题技巧.在极坐标 系中，当研究的问题用极坐标方程难以解决时， 系中，当研究的问题用极坐标方程难以解决时， 可转化为直角坐标方程求解. 可转化为直角坐标方程求解.