第四节 连续型随机变量及其概率分布

随机变量及其分布第四节 连续型随机变量及其概率分布

一、连续型随机变量及其密度函数

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分 布,而是通过给出所谓“概率密度函数”,研究随机 变量落入某个区间内的概率.

一、连续型随机变量及其密度函数1、连续型随机变量与密度函数的概念对 于 随 机 变 量 X , 若 存 在 非 负 可 积 函 数 f ( x )( x R ) 使 得 随 机 变 量 X 取 值 任 意 区 间 a , b 的 概 率 为P (a X b )

b

f ( x )d xa

则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称概率密度. f(x) 几何定义 x 0 a b

一、连续型随机变量及其密度函数2、概率密度函数的性质1o 2o

f ( x) 0

f ( x )dx 1

【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某连续型X 概率密度的充要条件

f(x) 面积为1

x0

二、分布函数与概率密度函数1、分布函数是研究随机变量概率分布的统一工具离散型随机变量：F (x) P(X x)

xk x

P ( X xk )

xk x

pk

连续型随机变量：

F (x) P(X x)

x

f ( t )d t

f(x)

x 0 x

二、分布函数与概率密度函数2、连续型随机变量的分布函数处处连续证 明 ： x R,设 自 变 量 改 变 量 x

x 0

lim F lim F ( x x ) F ( x ) x 0

lim P ( x X x x ) x 0

lim

x 0

x x x

f ( t )d t 0

正是由于分布函数的为连续函数，随机变量才称 为连续型，这也是连续型随机变量的另一定义。

二、分布函数与概率密度函数3、连续型随机变量取单点值概率为0.连 续 型 随 机 变 量 X , x R, P( X x) 0P ( X x ) lim P ( x X x x ) x 0

lim

x 0

x x x

f ( t )d t 0

由此可以得到如下结论： 由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B=S

二、分布函数与概率密度函数4、连续型随机变量任意区间内的概率求法由 于 连 续 型 随 机 变 量 X , x R, P( X x) 0 a,b R,a b P (a X b ) P (a X b ) P (a X b ) P (a X b ) F (b ) F (a )

b

f ( x )d xa

总之：连续型随机变量X P(X D)

D

f ( x )d x

二、分布函数与概率密度函数5、连续型随机变量分布函数与密度函数关系.连续型随机变量X 由于F (x) P(X x) F ( x ) ( x

x

f ( t )d t

f ( t )d t ) f ( x )

由此可知：分布函数求导等于概率密度函数； 密度函数求积分等于分布函数。

二、分布函数与概率

密度函数6、连续型随机变量密度函数的意义.

对 f(x)的进一步理解: 若 x 是 f(x) 的连续点，则f ( x ) F ( x ) lim F ( x x) F ( x) x P ( x X x x) x x 0

lim

x 0

故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落 在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的 极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于 线密度.

二、分布函数与概率密度函数6、连续型随机变量密度函数的意义.f ( x ) F ( x ) lim P ( x X x x) x P ( x X x x) x x 0

f ( x ) (无 穷 小 量 )

P ( x X x x )= f ( x ) x x

若不计高阶无穷小，有 P{ x X x x } f ( x ) x f ( x ) x 在连续型变量理论中所起的作用与P ( X xk ) pk 在离散型变量理论中所起的作用

相类似.

二、分布函数与概率密度函数f(x)

x 0 a

b

离 散 型 随 机 变 量 X , P (a X b )

a xk b n x 0

pk

连 续 型 随 机 变 量 X , P ( a X b )= lim

i 1

f ( x i ) x i

b

f ( x )d xa

(即 区 间 内 诸 多 小 面 积 微 元 s f ( x ) x 之 和 )

二、分布函数与概率密度函数f (x)

o

a

x

要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度 (取值),并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越 大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的 程度.

二、分布函数与概率密度函数 kx 例1 设 连 续 型 随 机 变 量 X f ( x) 2 x 2 0 求 ： )常 数 k (1 (2)F ( x ) ( 3 ) P (1 X 7 2 ) 0 x 3 3 x 4 其它

解：由归一性可知

f ( x )d x 1 23 2 0

0

0dx 1 4

3 0

kxdx 4

4 3

(2

x 2

)d x 1 6

0dx4

0

kx

(2 x

x )3

2

0 1

k

二、分布函数与概率密度函数

二、分布函数与概率密度函数

二、分布函数与概率密度函数 0 2 例2 设 连 续 型 随 机 变 量 X F (x) x 1 x 0 0 x 1 1 x

求 ： 概 率 密 度 函 数 f ( x )以 及 P ( 0 .3 X 0 .7 ) 2x 解 ： 由 题 可 知 ， f ( x ) F ( x ) 0 0 x 1 其它2 2

P ( 0 .3 X 0 .7 ) F ( 0 .7 ) F ( 0 .3 ) 0 .7 0 .3 0 .4

二、分布函数与概率密度函数练习1设连续型随机变量 X 的分布函数为

x a, 0, x F ( x ) A B arcsin , a x a, a x a. 1, 求 : ( 1 ) 系数 A , B 的值 ; (2) P { a X ( 3 ) 随机变量 a 2 X 的概率密度 . };

二、分布函数与概率密度函数解 (1) 因为 X 是连续型随机变量,所以 F ( x ) 连续 ,

故有

F ( a ) lim F ( x ),x a

F ( a ) lim F ( x ) ,x a

即

a A B arcsin A B 0, 2 a

a B 1, A B arcsin A 2 a