郑州大学软件学院期末试卷线性代数2008-2009(B卷)

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郑州大学软件学院《线性代数》课程试题

2008-2009学年第一学期（B卷）

（适用专业： 考试时间：）

合

分人：

复查人：

一、填空题：（每空3分，共15分）

分数 评卷人

1．

．．

．设

设设

设A是

是是

是3阶方阵

阶方阵阶方阵

阶方阵，

，，

，A＝

＝＝

＝2

1，

，，

，则

则则

则12?A＝

＝＝

＝____________;

2．

．．

．设

设设

设A＝

＝＝

＝?

?

?

?

?

?

?

dc

ba

，

，，

，则

则则

则?A＝

＝＝

＝_________________;

3.设

设设

设A为

为为

为5×

××

×3矩阵

矩阵矩阵

矩阵，

，，

，则方程组

则方程组则方程组

则方程组AX

r＝

＝＝

＝βr有唯一解的充要条件是

有唯一解的充要条件是有唯一解的充要条件是

有唯一解的充要条件是__________________;

4．

．．

．方阵

方阵方阵

方阵A的属于不同特征值的

的属于不同特征值的的属于不同特征值的

的属于不同特征值的特征向量必

特征向量必特征向量必

特征向量必___________________;

5．

．若方阵

若方阵若方阵

若方阵A与

与与

与B合同

合同合同

合同，

，，

，则

则则

则R（

（（

（A）

））

）________R(B) (

((

(＝

＝＝

＝或

或或

或≠

≠≠

≠).

).).

).

二

二二

二、

、、

、计

计计

计算下列各题

算下列各题算下列各题

算下列各题（

（（

（每题

每题每题

每题10，

，，

，共

共共

共20分

分）

））

）

分数 评卷人

1．

．．

． D＝

＝＝

＝2

605

2321

1213

1412?2.

设

设设

设 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Χ

6

3

2

112

111，

，，

，试求矩阵

试求矩阵试求矩阵

试求矩阵X.

三

三三

三、

、、

、

（

（（

（共

共共

共 15 分

分分

分）

））

）

分数 评卷人

题号 一 二 三 四 五 六 总分

分数

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设

设设

设有

有有

有向量组

向量组向量组

向量组：

：：

：1

αr

＝（

＝（＝（

11

1，

，，

，0

00

0，

，，

，2

22

2，

，，

，1

11

1），

），），

），

2αr

＝（

＝（＝（

＝（1

11

1，

，，

，

2

22

2，

，，

，0

00

0，

，，

，1

11

1）

））

）3αr

＝（

＝（＝（

22

2，

，，

，1

11

1，

，，

，3

33

3，

，，

，0

00

0）

））

）

4αr

＝（

＝（＝（

＝（2

22

2，

，，

，5

55

5，－

，－，－

，－1

11

1，

，，

，4

44

4）

））

）5αr

＝（

＝（＝（

＝（1

1，－

，－，－

，－1

11

1，

，，

，3

33

3，－

，－，－

，－1

11

1）

））

）

求该向量组的一个最大无关组

求该向量组的一个最大无关组求该向量组的一个最大无关组 求该向量组的一个最大无关组，

，，

，并将其余向量用该无关组线性表出

并将其余向量用该无关组线性表出并将其余向量用该无关组线性表出 并将其余向量用该无关组线性表出。

。。

。

四

四四

四、（

、（、（

、（15分

分分

分）

））

）

分数 评卷人

设线性方程组：?

?

?

?

=++?

?=?+?

=++?

txxxx

xxxx

xxxx4

321

4321

43213

363

12

12

试求t ,使方程组有解

并求其 五

五五

五、

、、

、

（

（（

（ 20 分

分分

分）

））

）

分数 评卷人

设实对称

设实对称设实对称

设实对称阵

阵阵

阵 A＝

＝＝

＝?

?

?

?

?

?

?

?

?

111

111

111

，

，，

，求正交矩阵

求正交矩阵求正交矩阵

求正交矩阵T ，

，，

，使

使使

使Λ=ΑΤΤ=ΑΤΤ?/1 为对角阵 为对角阵为对角阵

为对角阵

六、证明题：（共15分）

分数 评卷人

1.

（

（（

（8分

分分

分）

））

）设向量组

设向量组设向量组

设向量组1αr，

，，

，

2αr，

，，

，

3αr线性无关，证明： 1＋＋

＋2αr，

，，

，2αr

＋

＋＋

＋3αr， αr ＋

，3αr＋ ＋＋

＋1αr

也线性无关。 2.

2.2.

2.（

（（

（7

77

7分

分分

分）

））

）设方阵 设方阵设方阵 设方阵A AA

A满足

满足满足 满足矩阵方程 矩阵方程矩阵方程 矩阵方程

Ο

=Ε?Α?Α22， ，，

，证明 证明证明 证明： ：：

：A

AA

A可逆并求

可逆并求可逆并求 可逆并求1?Α