第六章 定积分及其应用(2)

第五节

定积分的应用

一、平面图形的面积1、直角坐标系下平面图形的面积 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x = a, x = b

(a<b)及 x 轴所围成的平面图形的面积ydxy f ( x)

微元法：面积元素 dA f ( x ) dxx

a o

x

面积

b

A f ( x ) dxa1

b

若f (x)有正有负，则曲边梯形面积为

A | f ( x ) | dxya

b

y f ( x)y | f ( x) |

a o

b

x

X—型平面图形的面积由连续曲线 y f ( x ) , y g( x ) ,直线 x a, x b(a b)

所围成的平面图形的面积：y

若 f ( x ) g( x ) ,

y f ( x)

y g( x )

a o

x x dx

b

x

面积元素: dA [ f ( x ) g( x )] dx ,

A [ f ( x ) g( x )] dxa

b

一般地，

y

y f ( x)

y g( x )

a ob

c

b

x

A | f ( x ) g( x ) | dxa4

Y—型平面图形的面积 由曲线 x ( y ) 0 、直线 y c, y d (c d )及 y 轴围成的平面图形的面积为 A y

d c

( y ) dy .

y

dy dy y

d

x ( y)

x ( y)x

o c 一般地，d

o c5

x

A | ( y ) | dyc

由曲线 x ( y) 、 x ( y ) 直线 y c, y d (c d )

围成的平面图形的面积为若 ( y ) ( y ) , A y

d c

[ ( y ) ( y )] dy .dy

d

x ( y) x ( y)

x ( y)

x ( y)x

c o 一般地， A

c o

x

d c

| ( y ) ( y ) | dy6

例1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的

图形的面积.解 由 得交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量, x [0,1]2 d A ( x x ) dx A

y1

2 y y x

y x2

o

x

1

x

1

0

3 2 3 x 1 1 2 ( x )0 . 3 3 37

x 1 ,y 与直线 x 3 所 例2 求曲线 y 2 2 1 x围成的平面图形的面积. 解 交点 x 1 , 由对称性,x2 y 2

2

y1 y 1 x2

31 2

13

o2

1

3

x

x 1 1 x ) dx S 2 ( ) dx 2 ( 2 2 1 0 1 x 2 1 x 2 2 3 . 3 3

例3 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成2

的图形的面积.解 两曲线的交点

y

y2 2x

( 8, 4 )

y2 2 x ( 2, 2), (8,4). y x 4S [ 2 x ( 2 x )]dx0 2

y x 4

o( 2, 2)

x

[ 2 x ( x 4)]dx2

8

此法麻烦。9

S [ 2 x ( 2 x )]dx [ 2 x ( x 4)]dx0 2

2

8

此题选 y 为积分变量比较好,

y x 1 y24

y S (4 y ) dy 2 2 18 .4

2

y 22 x2

( 8, 4 )

y x x y 4 4

选择积分变量的原则： (1)尽量少分块；

2

o

( 2, 2)

x

(2)积分容易.10

x 2 ,0 x 2 y 3 所围 与直线y 0 , 例4 求曲线 y 6 x , x 2图形的面积。

y43

解 S (6 y y ) dy0

3

y x2

y 6 x

9 2 18 3 13.5 2 3 . 2

3

3 2

o

2

6

x

例5 求由 x 2 y 2 2 x , x 2 y 2 4 x 和直线 y x ,y 0所围成的图形的面积.

解 作草图如右,

y

s1 ( x 1 ( x 1)2 ) dx11 3 1 x 2 dx 2 0

2

1

2

x

3 , 2 4

x2 y2 2x( x 1)2 y 2 1y 1 ( x 1) 212

3 3 s s1 . 2 4

2 y x 定义在,0 x 1 上，t 是区间 [0, 1] 上的 例6 设

任一点，当 t 为何值时，图中两阴影部分的面积和最小？

解 S S1 S2

t 0

2 2 ( x t ) dx ( t x ) dx t

2

2

1

y1

y = x2S2

3 x x t 1 2 t3 |0 |t t (1 t ) 3 3

3

t

2

4t 3 2 1 t , 0 t 1 3 32

S1t1

o

x

1 S 4t 2t 2t ( 2t 1) 0 ,得 驻 点: t 0, t , 2 1 经比较，当t 时两面积和最小. 13 2令

有时需要把边界函数参数化.

x x( t ) t 由参数曲线 , 及直线 y y( t )x a , x b 和 x 轴围成的平面图形面积为：若 x 0 ,则 A

| y(t ) | x (t ) dt ; | y(t ) | x (t ) dt .14

若 x 0 ,则 A

x2 y2 例7 求椭圆 2 2 1所围的面积. a b解 椭圆的参数方程

yb

x a cos t y b sin ta

o

x a

由对称性知, 总面积等于第一象限部分面积的4倍,

A 4 y dx 4 b sint d(a cost ) 4ab 2 sin2 t dt0

0

1 3 1 4ab n 1 abn . 3 , n为 正 偶 数 2 2 n n n 2 4 2 2 2 sin x d x n 1 n 3 0 4 2 , n为 大 于 1的 奇 数 15 5 3 n n 2

2

0

x2 y2 例7 求椭圆 2 2 1所围的面积. a bx2 或解 y b 1 2 , aa 2

yb

o

x a

4b a 2 x 2 a x dx , S 4 b 1 2 dx 0 a 0 a

令 x a sint ,

S 4ab

2

0

1 cos t dt 4ab ab . 2 2216

x2 y2 例7 求椭圆 2 2 1所围的面积. a bx2 或解 y b 1 2 , aa 2

yb

o

x a

4b a 2 x 2 a x dx S 4 b 1 2 dx 0 a 0 a

4b 1 2 a ab . a 4

y x

a

利 用 圆 面 积17

x a cos 3 t 围成的面积. 例8 求星形线 3 y a sin t解 A 4 /20

y

a sin t 3a cos t sint dt3 2

12a

2

/20

sin4 t (1 sin2 t ) dt

o

a x

3 1 5 3 1 12a ( ) 4 2 2 6 4 2 22

3 2 a . 8

2、极坐标下平面图形的面积设由曲线 ( ) 及射 线 、 围成一曲边扇 形，求其面积.这里， ( ) 在

d ( )

[ , ] 上连续，且 ( ) 0 .

d x

1 2 o 扇形面积公式 A R , 2 1 面积元素 dA [ ( )]2 d , 2 1 2 A [ ( )] d 曲边扇形的

面积 2