高等数学课件第五章同济六版

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第五章

第节二 微积的基本公式分一、引例 二积分、限的上函数其导及 数、牛三顿 莱–尼兹公式布

YNAGHOZUUNI VRESIY机T 动目 录页上 下页返 结束

回

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一引例在变、速线运动中,直 已知置函位数与 度函数速

间有关系:之s( t ) v(t )物体在时间隔间 经内过的程路

为

TT2

1v( t )dt s T(2 ) (Ts1)

种积这与原分函数关的在系一条件下定有具普性 .遍YNAGZOU UNHIERSVIYT动机 录 目页上 下页 回 结束返

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二、积上限分函的数及其数定理导1. 若 积分则上限函数x y (f)x ( x) f t( d)t y a (x)

证: x ,x h a[ , ]b, 则 o a有 x b x x x( h ) x( ) 1 x h ft )(d t f (t ) d t x h a hh a 积 分值定理 中x h1 (tf) d t f ( ) ( x x h) h x

x) ( lim YANGZHOUU INEVSITRY ( h) x ( x )l mif ( ) f () h x0 h h0机动目录 上 页下页 返 回束结

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明:说1 定理) 1证明 连续函了数原的数函存在是的

同时为.通过原数来计函算定积开分了辟路 .道2) 限积变求导分

: d( ) x a (ft )d t f[ (x) ] (x d) x( x)d ( x) d a f (t ) d t f ( t) d t f t () t d ( x ) dxa d x x()

f [ ( x )] ( x) f [(x)] x()YNGZAHOUUN IVRESTYI机 目录 动页上下 返页回结 束

例1.

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求 原式 ilme cos2

x 00

sin( x) 1:解 0 x2e x2 *2例.确 常定 数 a, b , 的c值 ,

使: 原解式= b.0

c≠0, 故 a . 又1由YANGHOZU UINERSVTIY~

c 1 ,得 2.说明 录目 上页下 页返 回结束

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*例3

.证 只明证要在证:

内 单调递增函数为. F x) ( 0x

x f(x) f ( )t d ft( ) xt f t () td0

x 0 f ( )t dt x2

02

f( x () x ) ft ( ) dtt x 0 f t )(d t

0x

f(x) ( x ) f () x 0 f (t )dt x 机动 目录上页

2

0(0 )x下页 返 结回束

YNAZGOUH UNIVRESTY

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三I、牛 顿 –布尼莱公式(New兹ton-eiLnbi)定z理. 一2个函数, 则a f (x dx) F (b) F(a)F ( )x f ( x) dx Ca xb

( 牛顿 莱-布 尼公兹式)

证 根据:定理 1,故

此 因得

af ( )xd x F( x ) F(a ) 作记

xAYGNHOZ UUNVERSIIY机T 动录 上页 目页下 回 返束

结

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4.例计 算 3xd acrta nx解: ar tca n 3 artcn(a1 )2 1 1 x 1 7 ( ) 3 4 1 例25.计 算弦曲正线3

面积的 .解: A sin dxx

0

yy sin x

cosx 0

[ 11] 2 o机动 目录上页 页

下 x返回 结 束YAGZHOU UNINVERISYT

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例6. 汽以车每小时3 km6 速的度驶行, 某处需到要减速停 , 车汽设以等加

车速度车到 车停走了少距离? 解多: 开始设车刹时为刻则 时此刻汽速度车63 001 0 m (s) 01( m s 630

0刹,车问从始开刹

)

刹车后汽减车速行 , 其速度驶为

当车停住时汽2, 2

即得

5 2 t2机动目录 故这在时段内汽车间走的所距离为

s v( )t t d (10 5t ) d t 01 t00 YANZGHUO NUIEVRSITY 0 01(m )上页 页 下返 结回束

2

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内容小结1 微积分.本公基式

设 (f )x C [a b, ], F ( x且) f ( )x ,则

有 af ( ) dxx ( f() b a) F ( ) b (a ) F ( b ) (F)a积分中定值 理微中分定值理牛顿 – 莱布尼 兹公式b

2. 积分上限函求导数公式

ANGYHZUOUNIVE SRIY公式T目 上页录下 页返 结回束

作

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业24P33 ; 4 5 ;3( ; ) (8)6 (,1) 1 (,21 ;) 9(2) ; 1213;YNAGZOHUU IVNESRTYI第三节目 上页录下页 回返结束

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备用题1 设.1 2

求f x().解：定积分 常为数 , 应用故分法定此常数积 设.

0f( ) dxx a,

0 f( x) dx b , 则YANGHZOU NUVERISIYT机动 录目上 页 下 页回返结

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束.2求 由于I n 1 :解 0

的推公递式n(正为数整 ).2s n i( 2 n )1 xsin x co(s2 n ) 1 sixn x xd In I 1n 2 2 0 insx

d x,因此

2 所 其中

以 02

2(1) c o(s2 1n)x d x 2 n

1 n1 I n I n 1

YAGNZOU HUINVERSTY机动I 目录上 下页页 回 返结

束