复变函数论第三版课后习题答案(2)

e e e e 2isinntnz

4．设z x iy，试证

x y2

z x y

。

证 由于

z x2 y2

2

2

x y 2xy x y

22

z x y

及

2x2 y2

2

x2 y2 2xy

2

x y2

x y

有

2

z x y

6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．(z*表示复数z的共轭) 【解】此题应该要求b* z + a* 0．

| a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | · | z | = | (a* z* + b*) · z | = | a* z* · z + b* · z | = | a* | z |2 + b* · z | = | b* z + a* |． 故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．

8. 试证：以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为

z1z2z3

w11w21= 0． w31

【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如

z'z3

1

2

我们将采用下述的观点来证明：

以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转．

记f1(z) = z z1 (将z1变到0的平移)；f3(z) = z w1 (将0变到w1的平移)； 那么，三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似 存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z) = z0 z， 使得f2 ( f1(zk)) = f3(wk)，(k = 2, 3)，其中z0 \{0}

存在z0 \{0}，使得z0(zk z1) = wk w1，(k = 2, 3) (w2 w1)/(z2 z1) = (w3 w1)/(z3 z1)

z2 z1w2 w1z3 z1

0z2 z1z3 z1z1

w3 w1

= 0

1

w2 w11= 0 w3 w11

w11

w21= 0．[证完] w31

z2z3

9. 试证：四个相异点z1, z2, z3, z4共圆周或共直线的充要条件是 (z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)为实数．

【解】在平面几何中，共线的四个点A, B, C, D的交比定义为

(A, B; C, D) = (AC/CB) : (AD/DB)．

这是射影几何中的重要的不变量．

类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z1, z2, z3, z4的交比定义为

[z1z2, z3z4] = (z1 – z3)/(z2 – z3) : (z1 – z4)/(z2 – z4)．

本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． ( ) 分两种情况讨论

(1) 若(z1 – z4)/(z1 – z2)为实数，则(z3 – z4)/(z3 – z2)也是实数． 设(z1 – z4)/(z1 – z2) = t，t ．则z4 = (1 – t)z1 + t z2，

故z4在z1, z2所确定的直线上，即z1, z2, z4共线．

因此，同理，z1, z2, z3也共线．所以，z1, z2, z3, z4是共线的． (2) 若(z1 – z4)/(z1 – z2)为虚数，则(z3 – z4)/(z3 – z2)也是虚数． 故Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) k ，Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) k ． 而Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) – Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) = Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)) = k ．

注意到Arg ((z – z4)/(z – z2)) = Arg ((z4 – z)/(z2 – z))是z2 – z到z4 – z的正向夹角， 若Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) = Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2))，

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，且它们对z2, z4所张的角的大小相同， 故z1, z2, z3, z4是共圆的．

若Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) = Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) + ，

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，且它们对z2, z4所张的角的大小互补， 故z1, z2, z3, z4也是共圆的． ( ) 也分两种情况讨论

(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t \{0, 1}，使得 z4 = (1 – s)z3 + s z2，z4 = (1 – t)z1 + t z2，

那么，z3 – z4 = s (z3 – z2)，即(z3 – z4)/(z3 – z2) = s； 而z1 – z4 = t (z1 – z2)，即(z1 – z4)/(z1 – z2) = t，

所以，(z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2) = t/s ． (2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，

若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么， Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) = Arg ((z4 – z3)/(z2 – z3)) 因此(z4 – z1)/(z2 – z1) : (z4 – z3)/(z2 – z3)是实数． 也就是说(z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)是实数． 若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，

则Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) + Arg ((z2 – z3)/(z4 – z3)) = (2k + 1) ， 故Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2))

= Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) – Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) = Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) + Arg ((z3 – z2)/(z3 – z4))

= Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) + Arg ((z2 – z3)/(z4 – z3)) = (2k + 1) ， 所以，(z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)仍为实数．[证完] 这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．

11. 试证：方程| z z1 |/| z z2 | = k ( 0 < k 1，z1 z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为 ，且z0 = (z1 k2 z2)/(1 k2)， = k | z1 z2|/| 1 k2 |．

【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆．

设0 < k 1，z1 z2，z0 = (z1 k2 z2)/(1 k2)， = k | z1 z2|/| 1 k2 |． z ，| z z0 | =

| z (z1 k2 z2)/(1 k2) | = k | z1 z2|/| 1 k2 | | z(1 k2) (z1 k2 z2) | = k | z1 z2 | | (z z1) k2 (z z2)| = k | z1 z2| | (z z1)/k k (z z2) | = | z1 z2|

| (z z1)/k k (z z2) | = | (z z1) (z z2) | | (z z1)/k k (z z2) |2 = | (z z1) (z z2) |2

| z z1 |2/k2 + k2 | z z2 |2 = | z z1 |2 + | z z2 |2 (1/k2 1)| z z1 |2 = (1 k2 ) | z z2 |2 | z z1 |2/k2 = | z z2 |2

| z z1 |/| z z2 | = k．[证完]

直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的． 命题：若复数z, w 0，则| | z | · w /| w | | w | · z /| z | | = | w z |． 证明：我们用z*表示复数z的共轭．

| | z | · w /| w | | w | · z /| z | |2 = | | z | · w /| w | |2 + | | w | · z /| z | |2 2Re[( | z | · w /| w |) · (| w | · z /| z |)* ] = | z |2 + | w |2 2Re( w · z* ) = | w z |2． 或更直接地，| | z | · w /| w | | w | · z /| z | | = | | z | · w /| w | | w | · z /| z | | · | z* /| z | | · | w* /| w | | = | (| z | · w /| w | | w | · z /| z |) · (z*/| z |) · (w*/| w |) | = | (| z | · (z*/| z |) | w | · (w*/| w |)) | = | w z |．

12. 试证：Re(z) > 0 | (1 z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题． 【解】Re(z) > 0 点z在y轴右侧

点z在点 1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧

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