复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答

（一）

1

．设z，求z及Arcz。

解：由于z e 3i

所以z 1，Arcz 2k ,k 0, 1, 。

3

2

．设z1z2 1，试用指数形式表示z1z2及z1。

z2

ii e4,z2 i 2e6 解：由于z1

4

所以z1z2 e2e

i

i

i6

2e

( )i46

12

2e

i

5 )iiz1e41( 14612

e e。

iz2222e6

3．解二项方程z4 a4 0,(a 0)。

解：z (ae) ae

2

2

1

4 i4

2k

4

i

,k 0,1,2,3。

4．证明z1 z2 z1 z2证明：由于z1 z2 z1 z2

2

2(z1 z2)2，并说明其几何意义。

2

2

z1 z2 2Re(z1z2)

2

2

2

z1 z2 2Re(z1z2)

2

所以z1 z2 z1 z2

2

2(z1 z2)2

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆

z1 z2 z3 0,z1 z2 z3 1。证明z1，z2，z3是内

z 1

的一个正三角形的顶点。

，知

z

证 由于1

z2 z3 1

3

z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。

因为

1 z3 z33

z1 z2 1 2 z11 z22 z32 1z2

2 z12 1z2

z所以， 12

又

1z2 1，

2

z1 z2 (z1 z2)(1 2) z11 z22 (z12 z21)

2 z12 1z2 3

z故 1

同理

z2 3

，

z1 z3 z2 z3 ，知 z1z2z3是内接于单位圆z 1的一个正三角形。

6．下列关系表示点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域。 （1） z z1 z z2,(z1 z2)； 解：点

z的轨迹是z与z

1

2

两点连线的中垂线，不是区域。

（2）z z 4； 解：令z x yi

由x yi (x 4) yi，即x2 y2 (x 4)2 y2，得x 2 故点

z的轨迹是以直线x 2为边界的左半平面（包括直线x 2）；不是区域。

z 1

1 z 1

解：令z x yi，

（3）

由z z ，得(x 1)2 (x 1)2，即x 0； 故点

z的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。

4

,且2 Rez 3；

（4）0 arg(z 1) 解：令z x yi

y

0 y x 1 0 arg(z 1) 0 arg

由 4，得 x 14，即

2 x 3 2 x 3 2 Rez 3

故点

z的轨迹是以直线x 2,x 3,y 0,y x 1为边界的梯形（包括直线x 2,x 3；

不包括直线y 0,y x 1）；不是区域。 （5）z 2,且z-3 1； 解：点

z的轨迹是以原点为心，2为半径，及以z 3为心，以1为半径的两闭圆外部，

是区域。

（6）Imz 1,且z 2； 解：点

z的轨迹是位于直线Imz 1的上方（不包括直线Imz 1），且在以原点

为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。

（7）z 2,且0 argz

4

；

解：点

z的轨迹是以正实轴、射线argz 及圆弧z 1为边界的扇形（不包括边界），

4

i131 ,且z i 2222

是区域。 （8）z

解：令z x yi

i11 2

z x (y ) 22 2由 ，得

x2 (y 3) z 3i 1

222

故点

1

4 14

z的轨迹是两个闭圆x

2

1131

(y ) ,x2 (y ) 的外部，是区域。

2424

7．证明：z平面上的直线方程可以写成 z C（a是非零复常数，C是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为

Ax By C将

11

x Rez (z z),y Imz (z z)代入，得

22i

11

(A iB)z (A iB) C22

a

11

(A iB) (A iB)22，则，上式即为 z C。

令

反之：将z x yi,z x yi，代入 z C 得(a a)x (ia ia)y c 则有

Ax By C；即为一般直线方程。

8．证明：

z平面上的圆周可以写成

2

Azz z z c 0.

其中A、C为实数，A 0, 为复数，且 证明：设圆方程为

AC。

A(x2 y2) Bx Dy C 0

其中A 0,当B D 4AC时表实圆；

2

2

11

x y zz,x (z z),y (z z)代入，得 将

22i

2

2

11

Azz (B Di)z (B Di)z c 0

22

即Azz z z c 0. 其中 且

2

11

(B Di), (B Di) 22

121

(B D2) 4AC AC； 44

( AC)

2

反之：令z x yi, a bi代入Azz z z c 0得A(x2 y2) Bx Dy C 0,其中B 2a,B 2b 即为圆方程。

10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。 （1）

z (1 i)t； （2）z acost ibsint；

z t

（3）

ii

z t2 2

t； （4）t，

x tz x iy (1 i)t , t

y t 解（1）。即直线y x。

x acost

z x iy acost ibsint ,

y bsint （2）

0 t 2

x2y2

1ab，即为椭圆；

t i x 1

z x iy t

y t t，即为双曲线xy 1； （3）

2 x ti

1z x iy t2 2 y t2 t （4），即为双曲线xy 1中位于第一象限中的一支。

11．函数

w

1

z将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线 z x iy,w u iv ？

2

（1）y x； （2） x 1 y 1

2

w

解

x y11xyu ,v 2 i

x2 y2x2 y2zx iyx y2x2 y2，，可得

u

（1）

xy y v

x2 y2x2 y2x2 y2

是w平面上一直线；

x 1 2 y2 1 x2 y2 2x

（2）

于是

x1

x2 y22，

u

1

2，是w平面上一平行与v轴的直线。

13．试证argz( argz )在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。

证 设f(z) argz，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。 当z0为负实轴上的点时，即z0 x0(x0 0)，有

y

arctan xlim x0 x y 0

limargz

yz z0 lim arctan

x x0 x y 0

所以z z0显然。

limargz

不存在，即argz在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性

14． 设

xy 3 , f z 2 y 6 z 0x

0 , z 0

求证f z 在原点处不连接。 证 由于

x4x2

limf z lim2 lim 0z 0x 0x x6x 01 x4y x

y61

limf z lim6 z 0y 0y y623

x y

可知极限z 0

limf z

不存在，故f z 在原点处不连接。

16. 试问函数f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？ 【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．

因为z在 内连续，故f(z) = 1/(1 – z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．

(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．

令zn = 1 – 1/n，wn = 1 – 1/(n + 1)，n +． 则zn, wn都在单位圆| z | < 1内，| zn wn | 0，

但| f(zn) f(wn …… 此处隐藏：2837字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……