高一数学必修四平面向量拔高练习题及答案

来源：网络收集时间：2026-09-08

导读：平面向量拔高测试题一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知 =(2,3

平面向量拔高测试题

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。

A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知

=(2,3), b=(-4,7)，则

在b上的投影为（）。

A、

B、

C、

按向量

D、

为（）。

3．设点A（1，2），B（3，5），将向量

=（-1，-1）平移后得向量

A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7） 4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5．已知

| |=4, |b

|=3, 与b的夹角为60°，则

| +b|等于（）。 A、

B、

C、

D、

6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段

所成的比为2，则（）。

A、

B、

C、

D、

，则点O是Δ

7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件

ABC的（）。

A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8．设

、b、

均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：

(1)( ·b)2

= 2·b2

(2)| +b|≥

| -b|

(3)| +b|2

=( +b)2 (4)(b

) -(

a)b与

不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A、1 B、2 C、3 D、4

9．在ΔABC中，A=60°，b=1，

，则

等于（）。

A、

B、

C、

D、

10．设

、b不共线，则关于x的方程

x2+b

x+ =0的解的情况是（）。

A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解

C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.

11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，则 =_________

12．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为

的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行

与b的“向量积”，

×b

·b=-2，则

| ×b|=______。

路程最短，小船应朝________方向行驶。

14．如果向量

与b的夹角为θ，那么我们称

×b为向量

是一个向量，它的长度

| ×b

|=| ||b|sinθ，如果

| |=3, |b

|=2, 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.）

15．已知向量

= , 求向量b，使|b

|=2| |，并且

与b的夹角为

。（10分）

16、已知平面上3个向量

、b、

的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。 (1) 求

证：

( -b)⊥

;

(2)若

|k +b

+ |>1 (k∈R), 求k的取值范围。（12分）

17．（本小题满分12分) 已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-λe1-8e2, =3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值.

18．某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.

(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

平面向量拔高测试题参考答案

一、选择题： 1. D. 设R(x, -9), 则由

得(x+5)(-8)=-11×8, x=6.

2. C. ∵|b

| , ∴

= .

3. A. 平移后所得向量与原向量相等。

4．A．由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60°.

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ∴ΔABC是直角三角形。 5．D．

6. B

7. B. 由

ΔABC的垂心。

8．A．(1)(2)(4)均错。 9．B．由

，得OB⊥CA，同理OA⊥BC，∴O是.

，得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13,

∴

10．B．

- =x2

+xb，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数λ和μ，使

- =λ

+μb。故λ=x2, 且μ=x,

∴λ=μ2，故原方程至多有一个实数解。二、填空题 11. 4 12..

14．

。

13. 与水流方向成135°角。 ·b

||b|cosθ,

∴

三、解答题

15．由题设

则由

| ×b

|=| ||b

|sin

, 设 b

,得

, ∴

解得 sinα=1或

。

当sinα=1时，cosα=0；当

故所求的向量

16．(1) ∵向量

∴

、b、

或

时，

。

的模均为1，且它们之间的夹角均为120°。 , ∴

(

-b)⊥

(2) ∵

|k +b

+ |>1, ∴

|k +b

+ |2>1,

∴k2

2+b2

+ 2

+2k ·b

+2k ·

+2b·

>1, ∵

∴k2-2k>0, ∴k<0或k>2。

17．解法一：∵A、B、D三点共线 ∴AB与AD共线，∴存在实数k,使AB=k·AD 又∵AD AB BC CD AB CB CD =(λ+4)e1+6e2.

∴有e1+e2=k(λ+4)e1+6ke2

1 k ( 4)k 1

∴有 ∴ 6

6k 1 2解法二：∵A、B、D三点共线 ∴与共线， ∴存在实数m,使 m 又∵BD CD CB=(3+λ)e1+5e2 ∴(3+λ)me1+5me2=e1+e2

m (3 )m 1

∴有 ∴ 5

5m 1 2

18、解：(1)如图①，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA、OB为邻边作OACB，则此人的实际速度为OA OB OC 新课标第一网

图① 图②

由勾股定理知||=8

且在Rt△ACO中，∠COA=60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时.

(2)如图②,设此人的实际速度为OD，水流速度为OA，则游速为在Rt△AOD中，|AD| 4,|OA| 4,|OD| 42,cosDAO ，

. 3

的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大3

. 3

∴∠DAO=arccos

故此人沿与河岸成arccos小为42公里/小时.

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