数理统计-假设检验(2)

记T=样品中次品数，使用这个统计量，检验可表示为 拒绝域：W={ T≥k } 接受域： W ={ T<k }; 

7.1.4 两类错误概率和检验的水平由于样本点可能取到样本空间 X 中的任何一个点，因此当我们用一个检验{ W , W } 来检验假设

H 0 : q Î Q 0  vs  H 1 : qÎ Q1 时，检验的结论未必总是正确的。如零假设 H 0 事实上是成立的，但却因样本观测值落入拒绝域而拒绝了零假设 H 0 ,这便犯了弃真的错误，通常称为第一类错误；相反，如果零假设  H 0 不成立，却因样本观测值落入接受域而接受了零假设 H 0 ,这便犯了存伪的错误，通常称为第二类错误。 … 第一类错误概率≡a(q) =Pq{(X1, ,Xn)∈W}

q∈Q0 

第二类错误概率≡ b(q) = P { ( X 1 , L, X n )Î W }  q … =1-Pq{(X1, ,Xn)∈W}

q∈Q1

例7.1.1(续4) 对例7.1.1的假设检验问题H 0:£ 1  v  H :p > 1  p %  s  1 % 

记T=样品中次品数，对检验拒绝域：W={ T≥2 }   接受域： ={ T< 2}  W …  a(p) =Pp{(X1, ,Xn)∈W}=  P { T ³ 2}  p

= 1 - (1 - p )

100

( - 100 p 1 - p )

99 

( p £ 0 . 01  ) 

£ 0.  268  ( p= 0 01  .  ) b(p) = P { ( X 1 , L, X n  )ΠW }  p

=  P { T £ 1}  p= (1 - p )100

(+ 100 p 1 - p )

99 

( p > 0 . 01  ) 

£ 0.  732  ( p = 0 01  .  ) 

例7.1.1(续5) 对检验拒绝域：W={ T≥3 }   接受域： ={ T< 3 }  W …  a(p) =Pp{(X1, ,Xn)∈W}

=  P { T ³ 3}  p= 1 - (1 - p )100

( ) - 100 p 1 - p )­ 100 × 99p  (1 ­ p 2

99 

98 

( p £ 0 . 01  ) 

£ 0.  023  ( p= 0 01  .  ) b(p) = P { ( X 1 , L, X n  )ΠW }  p

=  P { T £ 2}  p= (1 - p )100

( )+ 100 p 1 - p )+ 100 × 99p 2 (1 ­ p 

99 

98 

( p £ 0 . 01  ) 

£ 0.  977  ( p= 0 01  .  ) 

检验的水平显然，两类错误的概率可作为衡量一个检验好坏的标准。对于一个检验，我们自然希望犯两类错误的概率都尽可能小，但这显然是不可能的。…  a(q) =Pq{(X1, ,Xn)∈W} q∈Q0…  b(q) =1-Pq{(X1, ,Xn)∈W} q∈Q1依据保护零假设的原则，犯第一类错误的概率，即错误地拒绝零假设的概率，应该受到限制。或者我们可以反过来讲，从慎重接受备择假设的考虑出发，错误地接受备择假设的概率应该受到限制。奈曼—皮尔逊(Neyman­Pearson)在限制第一类错误概率不超过事先给定的一个小的正数α,即

sup P { ( X 1 , , X n )Î W }£ a L qq  Q0 Î

(7.1.3) 

的约束条件下，建立了一套衡量检验优良性的理论。对奈曼— 皮尔逊的理论，我们不准备在此介绍。