6、运动方程--(N-S、欧拉)

介绍流体力学的知识,

第一章 流体力学基础

介绍流体力学的知识,

流体流动规律，这样可以了解每一个流体微团的位置变化和力学关系，从而，由流体微团组成的整个流体的运动状况也就清楚了。这种研究方法称为拉格朗日法。流动过程中所遵循的各种物理定律，如质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等都是针对"系统"而建立的， 图1-19 微元六面体的受力图

或写成 （1-54）

微元六面体上各个面上的表面力受力情况如图1-19所示。每个面上均有三个应力分量，一个法向应力和两个切向应力，六个面共计18个应力，其大小标于图上。 于是，微元系统在x方向上所有表面力之和为：

（1-55）

类似地，y、z方向上所有表面力之和分别为：

（1-56）

（1-57）

可统一表示为： （1-58）

将作用在微元系统上的质量力与表面力代入式1-52中得：

（1-59）

二．运动方程

将式1-59代入式1-50中，并除以dxdydz得：

（1-60）

写成矢量式为： （1-61）

这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程，亦称为运动方程。

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三．奈维-斯托克斯方程

1．应力与形变速率之间的关系---本构方程

流体质点受到应力作用将发生形变，因此应力大小与流体的形变速率之间必存在着一定的关系。这种关系称为本构方程。 （1）剪应力与形变速率之间的关系

前已述及，对一维层流流动的牛顿型流体，牛顿粘性定律成立，即

（1-18）

上式即为一维层流流动时的剪应力tyx与剪切形变速率dvx/dy之间的关系。对于三维层流流动，剪应力与形变速率之间的关系较为复杂，本书不作推导，感兴趣的读者可参阅有关流体力学专著，下面只将最后结果列出：

（2）法向应力与形变速率之间的关系

可以认为，法向应力由两部分组成：压应力和法向粘性应力，即

1-62）

（1-63）

压应力p在数值上可认为等同于热力学中的压力，其作用的结果使流体发生体积形变，而粘性应力作用的结果则使流体在法向方向承受拉伸或压缩，发生线性形变。 各法向应力与形变速率之间的关系为[1]：

（1-64）

式1-62和式1-64又称为牛顿型流体的本构方程。不适用于非牛顿型流体。 根据式1-63，应力张量tij也可写成如下形式：

（1-65） 

令 (1-66)

P￠称为偏应力张量，是应力除去压力项后得到的张量。由式1-62及式1-64可知，P￠与流体粘性有关。

2．奈维-斯托克斯方程（N-S方程） 将本构方程代入式1-60中并整理得：

 （1-67a）

 （1-67b）

 （1-67c）

上式即为直角坐标系下牛顿型粘性流体的奈维-斯托克斯方程，简称N-S方程。

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对不可压缩流体，有：代入式1-67中得：

（1-42）

(1-68)

其矢量形式为： （1-69）

式1-69是不可压缩粘性流体的N-S方程。等式左边r(Dv/Dt)项代表惯性力项，右边m?2v项代表粘性力项。

若引入广义压力G 将质量力和压力合写为：

（1-70）

。于是

式中FBM指单位质量流体的质量力，r为矢径，

（1-71） 将上式代入式1-69中，则N-S方程变为：

（1-72）

式中将不出现质量力项。这在某些场合下较为方便。将上述矢量式在直角坐标系下展开为：

(1-73)

附：柱坐标系和球坐标系下的不可压缩流体的N-S方程表达式如下： 1． 柱坐标系 r分量：

(1-74a)

q分量：

(1-74b)

z分量：

(1-74c)

应力与形变速率的关系为：

2． 球坐标系

(1-75)

介绍流体力学的知识,

 (1-76a)

分量：

 (1-76b)

分量：

 (1-76c)

应力与形变速率的关系为： 

(1-77)

四．欧拉方程

对于粘度为零的流体（称为理想流体），其运动方程则可简化为：

（1-78） 此式称为欧拉（Euler）方程，是理想流体力学的基本方程。其在直角坐标系下分量式为：

（1-79）

1.3.3.2 N-S方程的若干解

理论上，通过求解连续性方程、运动方程以及流体的状态方程f (r，p，T) = 0等5个方程组成的偏微分方程组，再结合具体过程的初始条件和边界条件，可获得速度场、压力场和密度场。但事实上，由于方程组中含有非线性项，如vx( vx /x）、r( vx /t）等，使求解过程十分困难。到目前为止，只有极少数几个简单问题得到了解析解。例如：

（1）对于某些特定的流动问题，N-S方程中若干项将等于零，从而使方程大大简化，由偏微分方程组转化为一个常微分方程。典型的例子是圆管内的层流流动问题、环隙内流体层流流动问题等，此时可得到其精确解。

（2）当方程中的某些项相对于其它项可以略去不计时，也可使N-S方程简化而求出其近似解。例如，对于Re<1的极慢流动（又称爬流），惯性力相对于粘性力来说可以略去不计，此时方程的求解就简单很多。

（3）对于雷诺数很大的实际流体绕物体的流动，可以将流体分为两个区域，一个是靠近壁面的边界层区域（指壁面附近速度变化较大的区域），另一个是边界层以外的外流区域（指速度变化很小的区域）。外流区域的流体可以看作理想流体，而用欧拉方程来计算。至于边界层内的流动，则可根据边界层理论对N-S方程进行若干简化而求其近似解。

介绍流体力学的知识,

对于复杂流体流动问题，可采用数值流体力学的方法求解。数值流体力学不仅可解决 层流问题，而且已成功应用于解决许多湍流问题。读者可参阅有关专著。 下面我们将就第（1）种情况举几个例子介绍N-S方程的应用。

1．圆管内的稳定层流

在化工工业生产中经常遇到不可压缩流体在圆管内的稳定层流流动，如图1-20所示。对圆管内的流动，采用柱坐标系下的方程最为方便。

流体不可压缩，Dr/Dt=0，流动稳定，/t=0，圆管内层流属一维流动，vr=vq=0，且流动轴向对称，/q=0。将以上诸条件代入不可压缩流体柱坐标系下的连续性方程（式1-46）和N-S方程（式1-74）中化简得：

（1-80）

由/q=0和式1-80可知vz只是r的函数，G只是z的函数。因此可将上式中最后一个表达式中的偏微分写成常微分，即：

(1-81）

经过上述简化，非线性的N-S方程转化成了常微分方程。式的左边是z的函数，而右边是r的函数，根据数理方程的基本知识，只有两侧同时等于一常数时该式才成立，即： =常数

设管长L内广义压力降为DG=G1-G2，则：

对上式进行两次积分可得通解为：（1-82） 边界条件：r=R（圆管半径）时，v=0；r=0时，v为有限值。 将边界条件代入式1-82得积分常数为： c1=0， 于是，不可压缩流体在圆管内稳定层流时的速度分布方程为：

可见，速度分布为抛物线，如图1-21所示。当r=0时，即在管中心处，v达到最大，由式1-83得：

（1-83）

(1-84)

对比式1-83、1-84可得v与vmax之间的关系为：

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