1数学软件认识试验(4)

（6） 三角函数式的化简

还有三角函数专用的分解、展开、化简函数：

TrigExpand[expr] 将三角函数式展开。

TrigFactor[expr] 将三角函数式因式分解。

TrigReduce[expr] 用倍角化简三角函数式。

TrigToExp[expr] 将三角函数式转换成指数形式。

ExpToTrig[expr] 前一个函数的逆变换。

Mathematica在求不定积分时，答案经常出现双曲函数，不符合人工解题的习惯，可以使

用TrigToExp转换。

3. 多项式的运算

两个多项式的四则运算使用通常的 + ，- ，* ，/ 运算符，其中乘号可以用空格代替。

例9 进行1 + x与1 - x2的和、差、积、商运算。

解：In[1]：= p1 = 1 + x；

p2 = 1 - x^2；

p1 + p2

Out[3]=2 + x - x2

In[4]：= p1 - p2

Out[4]= x + x2

In[5]：=p1*p2

Out[5]=（ 1 + x）（1 - x2 ）

In[6]：= p2/p1

1 x2

Out[6]= 1 x

注意：从Out[5]和Out[6]可以看到，乘法和除法其实什么也没做，需要用前面介绍的化简函数将结果化简。

以下介绍四个常用函数：

PolynomialQuotient[p1，p2，x] 求x的多项式p1被p2除的商。

PolynomialRemainder[p1，p2，x] 求x的多项式p1被p2除的余式。

PolynomialGCD[p1，p2， ] 求多个多项式的最大公因式。

PolynomialLCM[p1，p2， ] 求多个多项式的最小公倍式。

4. 解方程

（1） 解符号方程（组）

在Mathematica中“=”号用于给变量赋值，而方程中的等号使用符号“= =”（即两个等号）表示。方程组用花括号括起来，各个方程用逗号分隔。所有未知量也用花括号括起来，未知量之间用逗号分隔。单个方程和未知量不必使用花括号。以下用eqns表示方程组，用vars表示未知量组。

下列函数用于解符号方程（组）：

Solve[eqns，vars] 对系数按常规约定求出方程（组）的全部解。

Reduce[eqns，vars] 讨论系数出现的各种可能情况，分别求解。

ax by 0例10 解方程或方程组：（1）ax + b = 0，（2） 。 cx dy 1

解：In[1]：=Solve[a x + b = = 0，x]

b Out[1]= x a

In[2]：=Reduce[a x + b = = 0，x]

Out[2]= a = =0 && b= =0 | | x= = b && a≠0 a

In[3]：=Solve[{a x + b y= =0，c x + d y= =1}，{x，y}]

ba Out[3]= x ,y bc ad bc ad

说明：上例首先用这两个解方程的函数解同一个方程，Solve不考虑a=0的情况，而Reduce则进行讨论。然后再用它们解同一个方程组，Solve给出的答案遵循通常的“系数行列式不等于0”的约定，而Reduce给出的答案就令人厌烦了，因此解符号方程（组）时主要使用Solve。应当指出它们不仅能解一般的代数方程，还可以解一些无理方程、三角函数方程和含有指数、对数的方程等（但是在解超越方程时，Mathematica有时会提示答案不是全部解）。如果在方程的系数中使用小数，则改为求近似解。

例11 解下列方程或方程组：

（1）15x6 - 13 x5 - 73x4 - 55x3 - 86x2 +140x – 24 = 0，（2）x 1 x 1 = 0，（3）

x y 1。 x 1 x 1 = a，（4） 22 x y 1

解：In[1]：=Solve[15x6 - 13x5 - 73x4 - 55x3 - 86x2 +140x – 24 = = 0，x]

12 Out[1]={{x 2},{x {x {x 3}, 53

11 {x ( 1 ii7)},{x ( 1 ii7)} 22

In[2]：=Solve[x 1 x 1= =0，x]

Out[2]={ }

In[3]：=Solve[x 1 x 1= =a，x]

4 a4

Out[3]={{x }} 4a2

In[4]：=Solve[{x+y= =1，x^2+y^2= =1}，{x，y}]

Out[4]={{x→0，y→1}，{x→1，y→0}}

说明：上例中In[2]无解，则输出一个空括号。Mathematica的解集输出优于MATLAB的同类函数输出，有几个解、各个未知量的值都一目了然。

（2） 求近似解

众所周知，很多方程是根本不能求出准确解的，前面介绍的那些函数也无能为力。下列函数专门用于求方程（组）的数值解，其调用格式如下。

NSolve[eqns，vars] 求代数方程（组）的全部数值解。 FindRoot[eqns，{x，x0}，{y，y0}， ] 从（x0，y0， ）出发找方程（组）的一个解。 例12 求下列方程或方程组的近似解：

x3 y 0 （1）x– 1 = 0， （2） 2。 2x y 1 3

解：In[1]：=Solve[x^3-1.0 = = 0，x]

Out[1]={{x→ - 0.5 - 0.866025ii}，{x→ - 0.5 + 0.866025ii}，{x→1.}}

In[2]：=NSolve[x^3 - 1 = = 0，x]

Out[2]={{x→ - 0.5 - 0.866025ii}，{x→ - 0.5 + 0.866025ii}，{x→1.}}

In[3]：=FindRoot[x^3 - 1= = 0，{x，5}]

Out[3]={x→1.}

In[4]：=FindRoot[x^3 - 1= = 0，{x，I}]

Out[4]= {x→ - 0.5 + 0.866025ii}

In[5]:=FindRoot[{x^3 – y = = 0，x^2 + y^2 = = 1}，{x，1}，{y，1}]

Out[5]={x→0.826031，y→0.563624}

注意：上例中In[1]说明，如果方程中出现小数，则Sovle也求近似解。

还有求多项式根的函数Roots，通常可用Solve代替，这里就不介绍了。

（3） 消去某些变量

最后介绍一个很有用的函数：

Eliminate[eqns，elims] 从一组等式中消去变量（组）elims。

x2 y2 z2 1例13 （1）从方程组 2中消去未知数z， 22 x (y 1) (z 1) 1

x2 y2 z2 1 （2）从方程组 x2 (y 1)2 (z 1)2 1 中消去未知数y、z，

x y 1

x2 y2 z2 1 （3）从方程组 x2 (y 1)2 (z 1)2 1 中消去未知数y、z，解出x。

x y 1

解：In[1]：=Eliminate[{x^2+y^2+z^2= =1，x^2+(y -1)^2 +(z -1)^2= =1}，z]

Out[1]=（2 - 2y）y = = x2

In[2]：=Eliminate[{x^2 + y^2 + z^2= =1，x^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = =1， x + y= = 1}，{y，z}]

Out[2]= - 2x + 3x2 = = 0

In[3]：=Solve[{x^2 + y^2 + z^2 = =1，x^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = = 1，

x + y = = 1}，x，{y，z}]

2 Out[3]={{x→0}，{x→}} 3

注意：上例中In[3]表明，Solve[eqns，vars，elims]的功能是消去y，z，求出x的值。同样，函数Reduce也有此用法。

5. 解不等式

Mathematica没有解不等式的内部函数，但是它自带的外部函数有此功能，必须将含有此函数的程序文件调入后才能使用，文件位于Mathematica的标准扩展程序包集中。

调入方法是键入：

<<程序包子集名 `文件名` （文件名不必带扩展名）

也可以调入整个程序包子集：

<<程序包子集名 `

标准扩展程序包集是Mathematica的一个子目录StandardPackages，它的子目录本书称为程序包子集。程序包子集按数学学科分类，如Algebra，Calculus等。每个程序包子集中有多个文件，文件扩展名为m。每个文件中有一个或多个外部函数，这里将这类文件称为程序包（文件）。在标准程序包集的代数程序包子集Algebra中，有解不等式的程序文件InequalitySolve.m，它位于子目录：

D:\ Mathematica\ 4.0\ AddOns\ StandardPackages\ Algebra\

下。其中有函数：

InequalitySolve[不等式（或等式）组，变量组]

用于解不等式（或等式） …… 此处隐藏：2549字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……