小学奥数周期问题教师版(2)

【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？

1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17

【解析】 观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4共五个数，则可列式为：5

×9＋1=46，即51为第46个数。

【例 7】 ⑴4 4 4（25个4），积的个位数是几？

⑵24个2相乘，积末位数字是几？

【解析】 ⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末

位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以25 2 12…1，25个4相乘，积的末位数字

是4．

⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组24 4 6，所

以24个2相乘，积末位数字是6．

【巩固】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，

8 9 72，在9后面写2，9 2 18，在2后面写8 得到一串数字：19892868 ，问：这串

数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？

【解析】 ⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……“286884”这6个数字重复

出现，周期是6．

⑵第1999个数字是：因为(1999 4) 6 332 3，所以，第l999个数字是6．

⑶这1999个数字的和是：

(1 9 8 9) (2 8 6 8 8 4) 332 (2 8 6) 27 11952 16 11995

【例 8】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．

⑴从1号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？

⑵从1号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？

⑶从1号同学开始，先顺时针传l56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107

次，最后手绢在谁手中？

10

9

8

534

【解析】 ⑴因为一圈有l2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开始，顺时针传l00

次，我们先用除法求传了几圈、还余几次．100 12 8(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次

正好传到5号同学手中．

⑵与第一小题的道理一样，先做除法．100 12 8(圈)……4(次)这4次是逆时针传，正好传到9

号同学手中(如图)．

⑶先顺时针传156次，然后逆时针传l43次，相当于顺时针传156 143 13(次)；再顺时针传l07

次，与13次合并，相当于顺时针传13 107 120(次)，120 12 10(圈)，手绢又回到l号同学手

中．

【巩固】 8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按

顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？

【解析】 将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：72 8 9组，没有余数，球正好

在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．

【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的

圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但

它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？

【解析】 解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．本题

中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循

环，周期为12．

⑴因为1991 12 165 11，所以，红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈．

⑵因为1949 12 162 5，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈．

⑶所求的乘积是11 7 77.

【巩固】 如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开

始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485

个位置，

第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置 如此继续下去，问至少

经过几天，小球又回到原来的1号位置？

【解析】 根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周

期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置. 156÷8=19……4，就是说，每

个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置. 要使小球回到原来的1号位，

至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又

回到原来“1”号位置.

【巩固】 如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人

从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，

再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？

【解析】 这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走

到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…

10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.

【例 9】 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米

不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，

然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长

度是多少？

【解析】 此题最好画图为同学们示意：在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，

2，因此60厘米一个周期：（1+3+5+4+2）×300/60=75厘米 .

【例 10】 右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？

【解析】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆

圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.

于是：B=891÷(9×9)=11.

【巩固】 课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，

丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？

【解析】 根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一

遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8

遍以后第二个人报的，即乙报的．71 4 17…3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的．

【例 11】 实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9

个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？

【解析】 昨晚8点至今早8点，共经历60 12 720(分钟)，720 7 102 6，说明从今早8点整起，7

分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好

跳到“0”位，指针共跳了102次．

由于每次跳9格，所以共跳了9 102 918(格)．每20格一圈，918 20 45 18，因此从“0”位

开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：20 18 2，因此昨晚8点

整时指针正指着2．

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