《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案(3)

2

n

2

n 1

d

f(x) dx

下的矩阵表示为

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

0 0 D

0 0

1-37 解：

10 0

02 0

00 n 00 0 (n 1) (n 1)

xx1

S(1) dt x,S(x) tdt x2,

002x1

S(x2) t2dt x3, ,

03S(x

n 1

xn 11) tdt xn

0n

于是所求矩阵为

0 1 0S

0

0 0 0 0

1

0

2

1 0

n (n 1) n

3

3

1-38 解：(1)核子空间就是求X R满足A(x) 0，由于X R.故

x1

,3 )x X (α1,α2α 2

x3

于是

x1 x1

A(x) A(α1,α2,α3)x2 (β1,β2)Ax2 x3 x3

所以所求X的坐标x1,x2,x3应是齐次方程组

x1

11 1

x2 0

012 x

3

的解空间，求的它的基础解系为

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x1 3,x2 2,x3 1

因此核子空间N(A)的基是x1α1 x2α2 x3α3 3α1 2α2 α3 ( 5,4,4)T, dimN(A) 1.

注：N(A)的基不是(3, 2,1)T.而是3α1 2α2 α3.为什么？N(A)的基是 (3, 2,1)T. (2)A的值域

R(A) span{A(α1),A(α2),A(α3)}

span{β1,β1 β2, β1 2β2} span{β1,β1 β2} span{β1,β2} R2

1-39 解：(1)不难求得

A(α1) α1 α1 α2

A(α2) α2 α1 α2 α3 A(α3) α3 α1 2α2 α3

因此A在α1,α2,α3下矩阵表示为

1 1 1

2 A 11

011 k1

(2)设ξ (α1,α2,α3) k2 ，即

k 3

1 101 k1

20 k2 2 1

3 1 1 1 k 3

解之得

k1 10,k2 4,k3 9 所以ξ在基α1,α2,α3下坐标为(10, 4, 9).

T

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y1 x1 yx22

A(ξ)在基α1,α2,α3下坐标可由式 A 得

y n xn y1 1 1 1 10 23

2 4 32 y2 11

y 011 9 13 3 (3)ξ在基α1 ,α2 ,α3 下坐标为

10 101 10 1

1 20 4 15 A 4 1

9 1 1 1 9 6 A(ξ)在基α1 ,α2 ,α3 下坐标为

23 101 23 10

A 1 32 120 32 4

13 1 1 1 13 9

1-40 解：R

2 2

是4维线性空间，利用同构的概念，可把题中矩阵写成向量形式

α1 (1,0,1,1)T,α2 (0,1,1,1)T,

α3 (1,1,0,2)T,α4 (1,3,1,0)T

A(α1) (1,1,0,0),A(α2) (0,0,0,0),A(α3) (0,0,1,1)T,A(α4) (0,1,0,1)T,

T

T

于是

A(α1,α2,α3,α4) (A(α1),A(α2),A(α3),A(α4))

1

1 0 0 1 0 1 1

于是

000 001 (α1,α2,α3,α4)A010

011 011 113 A101

120

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1 0A

1 1

011 113 101

120

3 10 48

307 48

10 1 48 11 0 24

1

1

1 0 0 1 1 1 0

2 2

000 001 010

011

注 根据同构映射的定义，R

中矩阵

a11a1 24

R可以看做中向量

a21a2 2

(a11,a12,a2,1aT2. )2