《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

第1章 线性空间和线性变换（详解）

1-1 证：用Eii表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用

第j列元素与第j行第i列元素为Eij(i j,i 1,2, ,n 1)表示n阶矩阵中除第i行，1外，其余元素全为0的矩阵.

n(n 1)

个.不难证明Eii，Eij是线性无关的，2

n(n 1)n(n 1)

且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成

22

n(n 1)

维线性空间. 2

n(n 1)

同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为.

2

n(n 1)

评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间，只需找出

2

n(n 1)n(n 1)

个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即22

显然，Eii，Eij都是对称矩阵，Eii有可.

1-2解: 令 x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 解出x1,x2,x3,x4即可.

1-3 解：方法一 设A x1E1 x2E2 x3E3 x4E4

即 故

12 11 11 11 10

x x x x1 2 3 4

03 11 10 00 00

12 x1 x2 x3 x4 x1 x203

于是

x1 x2 x3

x1

x1 x2 x3 x4 1,x1 x2 x3 2

x1 x2 0,x1 3

解之得

x1 3,x2 3,x3 2,x4 1

即A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3, 3,2, 1).

T

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方法二 应用同构的概念，R

2 2

是一个四维空间，并且可将矩阵A看做(1,2,0,3)T，

E1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有

11111 0003 11102 1

0100 3 11000 0102

1

000

3 0 0

00

1 1

因此A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3, 3,2, 1)T.

1-4 解：证：设k1 1 k2 2 k3 3 k4 4 0

即

k 11 11 k 11 2 01 k 11 3 10 k 10 1 4 11

k1 k

2 k3 k4k1 k2 k3 k1 k3 k4

k kk 0

12 4 于是

k1 k2 k3 k4 0,k1 k2 k3 0 k1 k3 k4 0,k1 k2 k4 0

解之得

k1 k2 k3 k4 0

故α1,α2,α3,α4线性无关. 设

ab cd x 11 1 11 x 11 2 01 x 11 13 10 x4 1 x1 x2 x3 x4x1 x2 x3 x1 x3 x4

x

1 x2 x4 于是

x1 x2 x3 x4 0,x1 x2 x3 0 x1 x3 x4 0,x1 x2 x4 0

解之得

x1 b c d 2a,x2 a c

0 1

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x3 a d,x4 a b

x1,x2,x3,x4即为所求坐标.

1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）

1

323 0 p(x) 1 2x 1,x,x,x 0

2

y1 y

23 2 1,x 1,(x 1),(x 1) y

3 y4

又由于

23

1,x 1,(x 1),(x 1)

111 1 223 0 1,x,x,x 001

000

1 3 3 1

23

于是p(x)在基1,x 1,(x 1),(x 1)下的坐标为

y1 1 y 0 2 y3 0 y4 0

3

111 1 3

0 6 1 23

01 3 0 6

001 2 2

1

方法二 将p(x) 1 2x根据幂级数公式按x 1展开可得

p(x) 1 2x3

p (1)p (1)

(x 1)2 (x 1)3 2!3!

3 6(x 1) 6(x 1)2 2(x 1)3 p(1) p (1)(x 1)

23

因此p(x)在基1,x 1,(x 1),(x 1)下的坐标为 3,6,6,2 .

T

评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.

1-6 解：①设

β1,β2,β3,β4 α1,α2,α3,α4 P

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将α1,α2,α3,α4与β1,β2,β3,β4代入上式得

2 1 1 1

故过渡矩阵

03105321

6 100

1106

1 0 11

3 00 10

1

1 0 P 0 1

1 1P

0 0 1 2 3 2 1 2 3 2

②设

01 10 2112

1 2

100

10 1

11 11 2 2

5

4 2

9

5 2

11

8 2

056

336 121

013

y1 1

y 0

ξ (β1,β2,β3,β4) 2

y3 1

0 y4

将β1,β2,β3,β4坐标代入上式后整理得

y1 2 y 1 2 y3 1 y4 1

03105321

7 9

1

6 1 8

6 0 27

1 1 1

3 0 3

2 27

评注：只需将αi,βi代入过渡矩阵的定义 β1,β2,β3,β4 α1,α2,α3,α4 P计算出

P.

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1-7 解：因为

span{α1,α2} span{β1,β2} span{α1,α2,β1,β2}

由于秩span{α1,α2,β1,β2} 3，且α1,α2,β1是向量α1,α2,β1,β2的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为α1,α2,β1.

方法一 设ξ span{α1,α2} span{β1,β2}，于是由交空间定义可知

1 1 2 1 2 1 1 1

k1 k2 k3 k4 0 1 1 0 3 011 7

解之得

k1 l2,k2 4l2,l1 3l2(l2为任意数)

于是

ξ k1α1 k2α2 l2[ 5,2,3,4]T(很显然ξ l1 1 l2 2)

所以交空间的维数为1，基为[ 5,2,3,4]T. 方法二 不难知

span{α1,α2} span{α1,α 2},span{β1,β2} span{β1,β2}

其中α 2 [ 2, 2,0,1],β2 [

T

13

,2,1,0]T.又span{α1,α 2}也是线性方程组 3

x1 x3 2x4

x 2x x34 2

的解空间.span{β1,β 2}是线性方程组

13 x x3 2x4 1

3

2x3 x4 x2

的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组

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x3 2x4 x1

x 2x3 x42

13

x1 3x3 2x4

2x3 x4 x2

的解空间，容易求出其基础解系为[ 5,2,3,4]T，所以交空间的维数为1，基为

[ 5,2,3,4]T.

评注：本题有几个知识点是很重要的.(1)span{α1,α2, ,αn}的基底就是

α1,α2, ,αn

的极大线性无关组.维数等于秩

{α1,α2, ,αn}.(2)span{α1,α2} span{β1,β2} span{α1,α2,β1,β2}.(3)方法

一的思路，求交span{α1,α2} span{β1,β2}就是求向量ξ，既可由α1,α2线性表示，又可由β1,β2线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方

程组来求解.

1-8解:

x1 2x2 x3 x4 0

(1):解出方程组的基础解系,即是V1的基, （Ⅰ）

5x 10x 6x 4x 0234 1

解出方程组（Ⅱ）x1 x2 x3 2x4 0 …… 此处隐藏：2949字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……