《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案(2)

A的值域是线性空间R3.

1-15解:已知A

1, 2, 3 1, 2, 3 A

1

(1) 求得式 1, 2, 3 1, 2, 3 P中的过渡矩阵P,则B PAP即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.)

1-16解:

设A 1, 2, 3 ,则R(A) span 1, 2, 3 ;N(A)就是齐次方程组Ax 0 的解空间. 1-17证:

由矩阵的乘法定义知AB与BA的主对角线上元素相等,故知AB与BA的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:

对k用数学归纳法证。

1-19证：设A ,则A

1-20证：设A ,则A

2

2

2

2

,即 = 2 ,即 =1或-1。

,即A = 2 ,即 =1或0。

《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

1-21解：设A ,其中 0，则A

1 1 1

1-22证：设B PAP,则 E-B E-PAP=P E AP E A。

-1

1

。

1-23解：仿线性代数教材例题。

1-24 证：若

10 01 00 00 k1 k k k 2 00 3 10 4 01 0

00

即

k1

k3k2

0 k4

所以 k1 k2 k3 k4 0 因此满足

k1E11 k2E12 k3E21 k4E22 0

的k1,k2,k3,k4只能全为零，于是E11,E12,E21,E22线性无关.

1-25 证：容易验证等式

α1 α2 α3=0

所以α1,α2,α3线性相关.

1-26 证：先证：R x n中的元素

1,x,x2, ,xn 1

是线性无关的.设

k0 1 k1 x k2 x2 kn 1 xn 1 0

由于R x n中x是变量，所以欲使上式对于任何x都成立的充分必要条件是

k0 k1 kn 1 0

于是1,x,x, ,x

2

n 1

线性无关.

对于R x n中任何一个向量（多项式）

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f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1 R x n

均可由1,x,x2, ,xn 1线性表出，这表明：1,x,x2, ,xn 1是R x n的基，于是R x n

是n维的.

不难验证：1,x a,(x a)2, ,(x a)n 1也是R x n的一组基.因为

f (a)f(n 1)(a)2

f(x) f(a) f (a)(x a) (x a) (x a)n 1

2!(n 1)!

故f(x)在这组基下的坐标为

f (a)f(n 1)(a) f(a),f (a),, ,

2!(n 1)!

1-27 解：A的核空间就是Ax 0的解空间，所以Ax 0的基础解系就是核空间的基.对A

作初等行变换后得

10

12A

12

2 2

因此Ax 0的解为

21 1

013

55 0

1 2 0

210000

1 2 0 0

x1 2x3 x4

3

x2 x3 2x4 2

其中x3,x4为自由变量.不难知Ax 0的基础解系可以取为

α1 ( 4, 3,2,0)T ( 4, 3,2,0)T α1

或 TT

α2 ( 1, 2,0,1) α 2 ( 6, 7,2,2)

它们都可以作为A的核空间的基，核空间是二维的.

1-28 解：设α (1,2,1,1)在所给基α1,α2,α3,α4下的坐标为k1,k2,k3,k4，故

T

α k1α1 k2α2 k3α3+k4α4

即

(1,2,1,1)T k1(1,1,1,1)T k2(1,1, 1, 1)T k3(1, 1,1, 1)T k4(1, 1, 1,1)T

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(k1 k2 k3 k4,k1 k2 k3 k4,k1 k2 k3 k4,k1 k2 k3 k4)

于是有

k1 k2 k3 k4 1 k k k k 2 1234

k k k k 1 1234 k1 k2 k3 k4 1

解之得

5111

k1 ,k2 ,k3 ,k4

4444

5111T

所以α在所给基α1,α2,α3,α4下的坐标为(,, , ).

4444

1-29 解：设

12 11 11 11 10

k k k k 10 1 11 2 10 3 01 4 11

k1 k2 k3 k4

k1 k2 k4

于是有

k1 k2 k3

k1 k3 k4

k1 k2 k3 k4 1

k k k 2 123

k k k 14 12 k3 k4 0 k1

解之得

k1 1,k2 1,k3 0,k4 1

所以A在已给基下的坐标为(1,1,0, 1).

1-30 解：因为

T

x a ( a) 1 1 x

(x a)2 ( a)2 1 2a x 1 x2 (x a)3 ( a)3 1 3a2 x 3a x2 x3

(x a)n 1 ( a)n 1 1 (n 1)( a)n 2 x

故由1,x,x, ,x

2

n 1

2

(n 1)(n 2)

( a)n 3 x2 xn 1

2

n 1

到1,x a,(x a), ,(x a)

的过渡矩阵为

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1 a( a)2( a)3 2012( a)3( a)

13( a) 00

00 00

1-31 解：将矩阵 α1,α2,α3,α4

(n 1)( a)n 2

(n 1)(n 2)n 3

( a)

2

1

( a)n 1

β1,β2,β3,β4 作初等行变换得

α1,α2,α3,α4β1,β2,β3,β4

2

1010 2112122

1 1

03 01 2 0

100001000011100011000111 1 1 0

11 1 1 2 12 1

1110

0111

上式表明由基α1,α2,α3,α4到基β1,β2,β3,β4的关系为（为什么？）

1 1

(β1,β2,β3,β4) (α1,α2,α3,α4)

0 0

01100011

1 1 1 0

所以由α1,α2,α3,α4到β1,β2,β3,β4的过渡矩阵为

1 1 0 0

01100011

1 1 1 0

设ξ=(x1,x2,x3,x4)T在β1,β2,β3,β4下的坐标为y1,y2,y3,y4，即

x1 y1 xy2

ξ (ε1,ε2,ε3,ε4) (β1,β2,β3,β4) 2

x3 y3 x 4 y4

其中ε1 (1,0,0,0),ε2 (0,1,0,0),ε3 (0,0,1,0),ε4 (0,0,0,1)则

T

T

T

T

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x1 2 1x2

ξ (ε1,ε2,ε3,ε4) (β1,β2,β3,β4)

x3 0

1 x4

于是

0 21 y1

y113 2

211 y3

222 y4

y1 2 y2 1 y3 0 y4 1

0 21 x1

x113 2

211 x3

222 x4

6811 6811 4 4 x x x 13 13113213313x4 131313

x

123912391 x1 x2 x3 x4

13131313 x2 13131313

x327832783 x1 x2 x3 x4

13131313 x4 13131313 1 1826 826 x1 x2 x3 x4

1313 131313 1313 13

1

1-32 解：(1)由定理知

V1 V2 span{α1,α2,β1,β2}

α1,α2,β1是向量组α1,α2,β1β,的2极大无关组，故它是V1 V2的基，

dim(V1 V2) 3.

(2)设α V1 V2，即α V1且α V2，于是

α k1α1 k2α2 k3β1 k4β2 将α1,α2,β1,β2的坐标代入上式，解之得 k1 0,k2 于是

α k1α1 k2α2 k4( ,, 5,) 所以V1 V2的基为( ,, 5,)，维数为1.

52

k4,k3 k4 33

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