高二数学选修2-1 第2章《空间向量与立体几何》_导学案(2)

南康二中 高二数学◆选修2-1◆导学案

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4. 线段中点的坐标公式： 在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，

B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为.

※ 典型例题 例1. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．

变式：如上图,在正方体ABCD 1A1B1C中1D，BDAB

1E1 1F1 113，求BE1与DF1所成角的余弦值．

例2. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EF DA1

.

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相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.

9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系

O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得

，则称有序实数组{x,y,z}为向量a的a xi yj zk

坐标，记着p

10. 设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .

11. 向量的直角坐标运算：

设a＝(a,a,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

1 2

⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ；

⑶λa＝ ； ⑷a·b＝

※ 动手试试

1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋

zc．其中正确命题的个数为（ ） A．0 B. 1 C. 2 D. 3

2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、

是（ ） D1C、AC11

A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），

c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ= （ ） 62636465A. B. C. D. 7777

4．若a、b均为非零向量，则a b |a||b|是a与b共线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6. a 3i 2j k,b i j 2k,则5a 3b （ ）

A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

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§2.2立体几何中的向量方法（1）

1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;

2. 行、垂直、夹角等立体几何问题．

102104，找出疑惑之处） 复习1： 可以确定一条直线；个平面的方法有哪些？

复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？

复习3：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，

a·b＝

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面

问题位置？

新知：

⑴ 点：在空间中，我们取一定点O间中任意一点P的位置就可以用向量

把向量 OP来表示，OP

称为点P的位置向量. ⑵ 直线：

① 直线的方向向量向量.

② 对于直线l上的任一点P,存在实数t，AP t AB

，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：

① 空间中平面 的位置可以由 确定.对于平面 上的任一点P, a,

b是平面 不 共线向量，则存在有序实数对(x,y),O P x a

使y

. b ② 空间中平面 的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：如果表示向量

n线垂直于平面 ，则称这个向量

n垂直于平面 ,n⊥ ，那 么向量

n叫做平面 的法向量.

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试试： .

1.如果 a, b都是平面 的法向量，则 a,

b的关系 .

2.向量n是平面 的法向量，向量 a是与平面 平行或

在平面内，则 n与

a的关系是 .

反思：

1. 一个平面的法向量是唯一的吗？ 2. 平面的法向量可以是零向量吗？

⑸ 向量表示平行、垂直关系：

设直线l,m的方向向量分别为 a,

b，平面 , 向量分别为u ,

的法

v① l∥m ，则a∥

b a

② l∥ a

kb

③ ∥ u u∥ a u 0

v u kv

.

※ 典型例题

例1 已知两点A 1, 2,3 ,B 2,1, 3 ,求直线AB

与坐标平面YOZ的交点.

变式：已知三点A 1,2,3 ,B 2,1,2 ,P 1,1,2 ,点Q在OP

上运动（O为坐标原点）,求当 QA QB

取得最小值时,点Q的坐标.

小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.

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§2.2立体几何中的向量方法（2）

1. 立体几何问题；

2. 中的角度的计算方法.

105复习1：已知 107，找出疑惑之处.

a b 1， a 1,

b 2，且 m 2 a b求 m .

复习2：角的范围是什么？

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？

新知 a求出线段长度.

试试：在长方体ABC D'A'B'C中'D，已AB 1,BC 2,'

CC ,求1AC'的长.

反思用已知条件中的向量表示.

※ 典型例题

例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

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变式1：上题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有

什么关系？

变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?

探究任务二：用向量求空间图形中的角度

例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC,BD分别为a,b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.

变式：如图，60 的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，

且都垂直于AB,已知AB

4,AC 6,

BD 8

,求CD的长.

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§2.2立体几何中的向量方法（3）

1. 进一步熟练求平面法向量的方法；

2. 异面直线间距离的计算方法；

3. 熟练掌握向量 …… 此处隐藏：2517字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……