高二数学选修2-1 第2章《空间向量与立体几何》_导学案

《空间向量与立体几何》_导学案

南康二中 高二数学◆选修2-1◆导学案

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试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b, a

b.

.b2. 点C在线段AB上，且AC 5, CB2则

AC AB

, BC AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？

⑴加法交换律：A. + B. = B. + a； ⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)； ⑶数乘分配律：λ(A. + b) =λA. +λb． ※ 典型例题 例1 已知平行六面体ABCD A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴ AB

⑵ BCAB AD ；

AA

'；⑶ AB AD 1 CC '

⑷12

( AB

AD 2

AA ')．

变式：在上图中，用 AB , AD , AA'表示 AC' , BD '

和 DB '.

小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

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§2.1.2 空间向量的数乘运算（一）

CD 3a b ，求证: A,B,C三点共线.

1. 化简； 2.

3. 几何中的问题．

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复习1：化简：⑴ 5（3 a 2

b）+4（2 b 3 a）；

⑵ 6 a 3 b c a b c

.

复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量 a, b， 若 b是非零向量，则 a与平行的充要条件是 二、新课导学

※ 学习探究 探究任务一：空间向量的共线

问题它们的位置关系？

新知：空间向量的共线：

1. 如果表示空间向量的互相 或 平行向量.

2. 空间向量共线： 定理：对空间任意两个向量 a, b（ b 0）， a// b要条件是存在唯一实数 ，使得

推论：如图，l为经过已知点A

且平行于已知非零向量的直线，

对空间的任意一点O，点P在直

线l上的充要条件是

试试：已知 AB a 5 b, BC 2 a 8

b,

3

反思：充分理解两个向量 a,

b共线向量的充要条件中的

b 0，注意零向量与任何向量共线.

※ 典型例题

例 OP 1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若

xOA yOB ，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否

共线？

变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若 OP 1 2OA tOB ，那么t＝

例2 已知平行六面体ABCD A'B'C'D'，点M是棱AA'设 的中点，点 G在对角线 A'C上，且 CG:GA' =2:1,

CA CD, =CA a，CB b, CC' c，试用向量a,b,c表示向量

'

, CM , CG .

变式1：已知长方体ABCD A'B'C'D'，M是对角线AC' 中点，化简下列表达式：⑴ AA' CB

;

⑵ AB' B'C' C'D' ⑶ 1 2AD

1 1 2AB 2A'A

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试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足

1 1 1

关系式OP OA OB OC,则点P与 A,B,C共面

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吗？

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反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足

关系式 OP xOA yOB zOC ,且点P与 A,B,C

共面，则x y z .

※例 典型例题 ① 1

下列等式中，使OM M,A,B,C四点共面的个数是（ ）OA OB OC

; ② OM 1 1 1 5OA OB OC;

③ MA MB 3MC 2

0;④ OM OA OB OC

0.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，

若向量 OP 1 5OA 7 3

OB OC

R ,

则P,A,B,C四点共面的条件是

例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点

E,,F,G,H,并且使OEOA OFOB OGOH

OC OD

k,

求证：E,F,G,H四点共面.

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§2.1.3．空间向量的数量积（1）

1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．

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复习1：什么是平面向量 a与

b的数量积？

复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求 AB .

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题空间线段的长度问题？

新知：

1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量空间 一点O，作 OA a ,b a O

, B b

，则 AOB量a

与b的夹角，记作 .

试试： ⑴ 范围

a, : b =0时, a与 a,b b ; a, b =π时, a与 b

⑵ a ,b

b ,a 成立吗？ ⑶ a ,b

，则称a 与b 互相垂直，记作 .

2) 向量的数量积：已知向量a ,b

a b ，则 叫做a,b的数量积， ，即a b

规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

反思：

⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？⑵ 0 a

⑶ 你能说出a b 0还是0）

的几何意义吗？

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3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则a

e |a |cos a ,e

．

（2）a b a b

．

（3）a a

＝

4) 空间向量数量积运算律：

（1）( a ) b (a b ) a

( b )．

（2）a b b a

（3）a (b c （交换律）) a b a c

．

（分配律

反思：

⑴ （ a b) c a ( b

c)吗？举例说明.

⑵ 若 a b a c，则 b

c吗？举例说明.

⑶ 若 a b 0，则 a 0或 b

0吗？为什么？

※ 典型例题

例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜

线垂直.

变式1：用向量方法证明：已知：m,n是平面 内的两条相交直线，直线l与平面 的交点为B，且l m,l n.

求证：l ．

例2 如图，在空间四边形ABCD中，AB 2，BC 3，BD CD 3， ABD 30 ， ABC 60 ，求

AB与CD

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§2.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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