线性代数第二版 主编 吴传生 第二章 行列式 克拉默法则 2.5

线性代数第二版 主编 吴传生

第五节定理 1

克拉默法则如果线性方程组

一、克拉默法则 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn

(1)a11 a 21 a n1 a12 a1 n a 22 a 2 n a n 2 a nn

的系数行列式不等于零，即D

0

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那么线性方程组 1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为

Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , x n . D D D D其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即

a11 a1 , j 1 a n 1 a n , j 1

b1 bn

a1 , j 1 a1 n a n , j 1 a nn

D j

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证明

用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj 依次乘方程组 1 的n个方程, 得

a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj 在把 n 个方程依次相加，得

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n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,k 1 n

而其余xi i j 的系数均为 ; 又等式右端为D j . 0于是

由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,

Dx j D j j 1,2, , n .

2

当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解

Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , x n . D D D D

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由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故

Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , x n . D D D D也是方程组的 1 解.

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二、重要定理定理 1 如果线性方程组 1 系数行列式不等于零D 0, 则 1 一定有解,且解是唯一的 .

其逆否命题为

定理 1' 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.

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齐次线性方程组的相关定理

a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0

2

定理 2 如果齐次线性方程组 2 的系数行列式 D 0 ,则齐次线性方程组 2 只有零解.也就是说如果齐次线性方程组 的系数行列式必为零.

2 有非零解,则它

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例1 用克拉默则解方程组

2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. 解

2 0 1

1 2 4

5 0 1 7

1 6 2 6

0

7 2 7

5 0 1 7

13 6 2 12

D

1 3

r1 2r2 r4 r2

1 3 0

0

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7 5 13 2 1 2 7 7 12

c1 2c2 c3 2c2

3 5 0 1

3 0

7 7 2

38

3

7 29 5 0

27, 5 0 1 7 1 6 2 6 D2 2 1 1 8 9 0 5 0 7 1 6 2 6

1 3 2 4

D1

0 5 1

81,

108,

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2 D3 0 1

1 2 4

8 9 5 0

1 6 2 6 D4

2 0 1

1 2 4

5 0 7

8 9 0

1 3

1 3

1 5

27,D1 81 x1 3, D 27D3 27 x3 1, D 27

27,D2 108 x2 4, D 27D4 27 x4 1. D 27

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例2 用克拉默法则解方程组

3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .

3解

5 3 1

2 0 1

1 4 1

D

0 1

67 0,

1 1 3 2

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3 D1 4 11 6

5 3 1

2 0 1

167 , 1 3

3 D2 0 1

3 4 56

2 0 1

1 4 1

4

1 11 6

0,

5 6 1 3 2

3 2

3 D3 0 1

5 3 1

3 4

1 4D4

3 0 1

5 3 1

2 0 1

3 4 11 6 67,

67 , 11 6 1 2

1 1

56

2

1 1 3 5 6

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D1 3 1, x1 D 67 3 67 D3 2 1, x3 D 67 2

67

D2 0 x2 0 , D 67D4 67 x4 1. D 67

例3 问 取何值时，齐次方程组 1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3

有非零解？

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解1 D 2 13

2 3 1

4 1 1

1 2 1

3 1 0

4 1 1

1 3 4 1 2 1 3 1 2 1 33 2

齐次方程组有非零解，则 D 0所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.