平稳随机过程随机和的中心极限定理

随机过程

第! #

卷

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数

学

学

报 ,., &

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0

1

2

,

.,

2

年

月

)& ( + )& (, &

3

4

15

! 6

平稳随机过程随机和的中心极限定理正传林炎陆荣8杭州

7

陆资传8北京邮电学院 9

大

学9

#!

引&2

言:‘ 5;

相互独立随机变量随机和的极限定理 8如的极限定理 8如 2

>=<

,

#

2

? 4 1

>#拼=

9和相依随机变量2

Δ 9 1 0 0Ε是古典极限定理发展的两个重要方面近年来也 0“一>有人进一步考虑了相依随机变量随机和的极限定理 8如Β: Φ本文给出了弱相依 9&2

ΑΒ

Χ

以一

2

2

强平稳随机过程Γ二

。,

一Η 0

Ι

,

ΙΗ 的随机和 0刀,

, 89

”ΜΜ

9Κ 8Φ间艺,Λ万万,、偏丫, 7,

品Μ人二目3一

2

。

1

卜

!

咭

月,

口川岁卜声匕 3三吸以+的

。。。 7,

廿、,,,

幼女

叶

2

脚且心ΝΝ公1殊戈Φ、‘

二二

一成立

口Ο

峭入月土〔分竺匡孔,曰

9试Κ、、击

,

又Θ

护Ο,

)瑞Ρ

0艺)Σ

<Σ

2

所得的结果把2

川

中的若干定理直接推广到了随机和的

—Κ,

!伏门兀牛、峡泛下又又Π 3

、、二,

3上 !且祖心Ν,艺上昆且2

7、

Μ

、

7二

情形而不必附加任何其它条件

Τ关于 8强 9平稳过程的弱相依性有种种不同的定义下面是三类常见的指标,

8 9Τ。、 2、叮ΨΛ

Υ4,。。

”。。

色,

,

胃

Ρ

,

;Ω尸8&Δ 9一尸8才9尸8丑 9Ω镇 8 9毒0

,

;

0 7Η

Τ

口Β八2

‘。产

了、

2

…Σ

对任何

Δ〔。孔。,

依概率

!

Ξ 2Ω尸8刀 1生 4Β

9一

尸8召 9

Ω成

甲 8,

9毒

,

刀Ο只卜

〔 8,

2色

9,

,

5〔月

8,

二Σ 材 8一材 9 8,一材, 9 Ο二二,,, 9男斌材 8一 ) 9材 8一 ) 9,

户

8 9毒,

,

;

0”Η

,

其中毗表示由Γ的随机变量集 2

二。

。

镬

。

8歼产生的

。一

代数

,

8Ξ约表示关于耐可测且有有限方差,2

89和。

甲 8,

, 9分别称为强混合和一致强混合系数武 9称为极大相关系数

显然有

89《 8 9蕊;

;

甲备; 82

9

2

8! 9Σ。

因此从条件 8甲 9可推出 8刃从条件 8可推出 8刃动,

而且从条件 8动可以推出Γ

的

遍历性 8

! 9参见〔〕

2

#定理& 8#72

几个辅助命题8;

?

4<Θ 4

9,

设ΓΥ

。,

Ε

ΙΗ 是一随机变量序列 0

,

,ΚΓ 89

,

0

提

Κ

ΙΗ 0

! 夕 6

年

月 !日收到Α月

日收到修改稿

2

随机过程

呼

期

林正炎等Τ平稳随机

过程随机和的中心极限定理2

是取正整值的随机函数列条件被满足Τ

再设ΓΔ 是正数序列而。

,

日是实数

,

[

8劝是分布函数

2

若下

8 9ΖΤ

,

8Κ、Κ

Β一

争其中一里表示依概率收敛Θ

Θ

是正值随机变量对于它存在离散值的随机变量序列ΓΘ,

一,

一

儿,

Κ

2

ΥΖ争

口习

。,

1

成

Ξ

ΙΗ 具有性质 0,

脚Τ

Ι

1

,

。

Ι处

。

Ι

Ο

Ι红

,

。

Ι,

… 8!ΙΗ 9 0

8,

Ξ

ΙΗ 9 0

,

!几一际 Ι编‘而Γ衬是正数序列当,。 0时,

81成2

‘。

Ξ

冬

> 8=#

中指出对于任意的随机变量]

几∴

,

这样的序列Γ群对是存在的 9Η 8 9若记事件2

&,

,

。

ΟΓ产。⊥[

‘7,,

,

则对使

尸8&

,

,

刁∴尸8

0

的一切反和

,,

,

在。

8幻的连续点上有Α

悠凡,其中尸 8 9Ο

,。

Γ“一

Ι

Τ

Δ

,

一

Χ

劣 8 9

,

Ω& 9

2

8 9对于任意的Η,

Α

∴

,

< 1Ξ那,口Η

1<ΞΚ2

Β2

!11 _,, 8‘左劝一七阴 9咨Ι<Ι 8 无。ΡΨΗ。 9启

‘,Τ一

Τ

,「 7,。,

,∴

Α

。【

Τ

, 7。,

;

,

,

,

。

9一

,

。

2

8 9对于任意的

Α

∴

0

,

< 1Ξ亩峥。

< 1ΞΚ

=ΔΒ嘴 Ν,

1,“Μ !

Μ

冲目

—Δ,

试Τ 9

二一 ! ∴2

!2

Α

!卜Ο3

]

那末在

,

[

8幻的所有连续点上< 1Ξ

Γ

,

, 89

一日Ι

二

Δ

,

Τ 89

Ο

[

二 8 9

2

>#此定理除个别地方的叙述形式略有不同外就是【中的定理

!

2

的

2

引理 ! 8?Π+α 1也即如果存在常数,2

2

ΖΥ0;,

9

平稳遍历序列Γ。。

Σ,

,

和

∴。 8。Κ,

9 0Η&9

的极限定理在二,一使

;‘:己 5<〔,

李 夕万,。

,

九Λ

意义下是混合的分布函数弱收二

敛于分布函数

[

8幻

,

则对任意的事件

&

,

8Β

∴Ι

巧毛几在[ 8幻[

的一切连续点

上有

、Γ 8一今亩客“

“

卜喊。

! 6这是〔中的一个命题

2

引理任意,,

设平稳过程Γ。

Σ

。

满足条件 8动Γ及 和Γ。 是趋于无穷的整数序列且对,。

,

咬《,

Ξ

0

2

&

。

是仅与随机变量叙< 1Ξ ,。

。,

…

,

‘有关的事件如果&是任意概率大于。

,

零的事件则8& 9Ο五Ξ

8才 9。

2

证

才记 Ο

Σ

汉

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