【三维设计】2014届高考数学一轮复习_(基础知识+高频考点+解题训

双_曲_线

[知识能否忆起]

1．双曲线的定义

平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2．双曲线的标准方程和几何性质

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)若双曲线方程为x－2y＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A. 2

2

2 5

，0 B. ，0 2 2

C. 6 ，0 2

2

D.(－3，0)

解析：选C ∵双曲线方程可化为x－1，

1213622222

∴a＝1，b＝.∴c＝a＋b＝，c＝222∴左焦点坐标为 －

y2

6 0 . 2

x22

2．(教材习题改编)若双曲线y＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )

a

A.25

523

3

3B.2D．2

2

C.

2

解析：选C 依题意得a＋1＝4，a＝3， 故e＝

22

2323

. 3

2

a

3．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，

24则△PF1F2的面积等于( )

A．2 C．24

B．3 D．48

y2

解析：选C 由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|1＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝2＝24.

x22

4．双曲线2－y＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为

a

________________．

a2＋1

解析：由题意知＝

ax±y＝0，即y3x.

答案：y3x

3 12

1＋ ＝2，解得a＝故该双曲线的渐近线方程是3

3 a

5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|²e＝________.

解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，

∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝|k|.

a43

455

∴|k|²e＝.

3435答案：3

1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a＝b＋c，而在双曲线中c＝a＋

2

2

2

2

2

b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)．

2．渐近线与离心率：

x2y2b

b>0)的一条渐近线的斜率为2－2＝1(a>0，

abab a2c－ae－1.可以看出，2

a

双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．

[注意] 当a>b>0时，双曲线的离心率满足1<e<2； 当a＝b>0时，e＝2(亦称为等轴双曲线)； 当b>a>0时，e2.

3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．

典题导入

x2y2

[例1] (1)(2012²湖南高考)已知双曲线C2－21的焦距为10，点P(2,1)在C的

ab

渐近线上，则C的方程为( )

A.C.

－1 205

－1 8020

x2x2

y2

B.－1 520D.

＝1 2080

2

2

x2y2

y2

x2y2

(2)(2012²辽宁高考)已知双曲线x－y＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．

x2y2

[自主解答] (1)∵＝1的焦距为10，

ab

∴c＝5＝a＋b.①

2

2

又双曲线渐近线方程为y＝±，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②

a

a

由①②解得a＝25，b＝5.

(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2， 所以2)＝|PF1|＋|PF2|，

又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)＝4，可得2|PF1|²|PF2|＝4， 则(|PF1|＋|PF2|)＝|PF1|＋|PF2|＋2|PF1|²|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝23. [答案] (1)A (2)2

3

由题悟法

1．应用双曲线的定义需注意的问题

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．

2．双曲线方程的求法

(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn<0)．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x2y2x2y2

(2)＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－λ(λ≠0)．

abab

(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0)．

以题试法

1．(2012²大连模拟)设P＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦

1620点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )

A．1

B．17

D．以上答案均不对

22

22

x2y2

C．1或17

解析：选B 由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.

典题导入

x2y2

[例2] (2012²浙江高考)如图，F1，F2分别是双曲线C－＝1(a，b＞0)的左、右

ab

焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M

.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )

A.

233 B.6

2

C.2

D.3

[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)． ∵B(0，b)，∴Fxy

1B所在的直线为－c＋b

1.① 双曲线渐近线为yba

x，

y＝ba

x，由 －xcy

b

1， 得Q

ac c－a，bcc－a

.

yb， a由得P －

acbc －x＋y

a＋ca＋c

，

cb＝1，

2

∴PQ的中点坐标为 ac

bc2

c2－a2c2－a2

.

22

由a2

＋b2

＝c2

得，PQ的中点坐标可化为 acc b2b

. 直线Fb

1B的斜率为k＝c

，

2

∴PQ的垂直平分线为y－c2cbb ac

xb2 .

a2c

令y＝0，得x＝2c，

bacac ∴M2c，0 ，∴|F2M|2b b

由|MF2|＝|F1F2|得

2

2

a2ca2c

＝2c， b2c2－a2

36222

即3a＝2c，∴ee＝22[

答案] B

ππ

若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且＜α＜”，求双

43曲线的离心率的取值范围．

解：根据题意知1＜3， 即1e－1＜ 3.所以2＜e＜2. 即离心率的取值范围为2，

2)．

由题悟法

1．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝(m＞0)或m＝故离心率有两种可能．

2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．

以题试法

2

b

a

baab

x2y2

2．(1)(2012²福建高考)2－1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率

a5

等于( )

A.314

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