【数学】2.5.1 平面几何中的向量方法1

平面何几中向量的法方量向念概和算运都有，明的确物理背 景和几背景何。向当与量面平标系坐结 以合，向后量运算就的以完可转全为“代 数”的计算，化这就为们解我物理问题和决 何研几究来极大的方带。便 由向量的线性于运算数和量运积具算 有鲜明几的何背，平景面几何的多许性，质如平 移全等、、相似长度、夹角、都以 由可量向线的运算性数及量积表出来，因示 ，利用此向量法可以解方决平面何中几的 一问题。些

题问平行：四边形表示是向量法与减法的加何模 几型如。,你能图现发行平四形对角边线的长与两度条邻边长度间之关的吗？系

DB AB DA ,C A AB D,A想：猜.1长形方角线对的度 与长两邻条长边度间有 之何系关?D

C

2A.比类想，猜平四行形边相有关似系吗

B?

例1证明平、行边四形四边平方等于和对两线平角和 方知已：平四边形ABCD。 行DAB 2 B 2 C D C2 DA2 AC2 DB2 求： 分析证：因平为四边形对行平边且相行 等故设，AB ,aAD 其它线b对应向 A段 用量它们表。示 22C

B:设 解AB a A,D b , 则C Bb, D A a, C A a ; DBb a

bBA CB C D DA ( a2 )b2 2 22AC B aD b a b 2 2

2

2

22 2 2 a 2 ba b a 2 a b b 2 a b 2 a b ∴ B2 ACB 2 C D D22 A A 2C BD2 2 2 22

你能总结下一利用向量法解平面决几问题何 的本基思吗？路用量方法解向平面决几何问题 的“步曲”:(1)建立三平面几何向量的与系联用，向量 示表问中涉及题的何几元，将平面素几问何 题转化向量问题为 (2);过向量运通，研算几究何素之元间的 系，关如距离夹角、问题等；(3 )运把结算果翻“”译成几元素。何 简：形述到量向 向的运算量向量 数和到形

例2 如图 ABC,D中点E,、分F 别是DA、 DC边的中点 BE 、 BF,别 分AC交与于 R 、两点，T你发能现RA、 R T TC之间的、系关吗D?F CT

猜想 ：A=RT=TCRAE

R

B A则 a B, A D b, R A ,r

AC a b 于 A由 与RCA共 线，故r 设 n( a )b n , R 又 因 为R与EB

E线共,D ERF TB C

1 以设E所R EB m (ma b )

2 因 为AR A E ER 1 1 所 以 r b m( a b A)2 2

1 1 因 此na ( b ) b (m a b) 2

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D E

RAF T

C

mB 1 即(n m )a (n )b 20 于向量由a ,b不共线 n, m 0 m 1 n 0 2 1 1 1 所以 AR AC, 理同TC C ,A 是于R T AC 3 331解得：n = m =

故A3TRT=TC=

习练证、直径所对的明圆角 是直周角如所示，已图⊙O,AB知直为，C径为 O⊙任上意点。求一证∠CAB=09 °A分 ：要析证A∠CB=9°0,只证须 向A量C CB, 即 C AB C 0

C

。 a

Ob

B

解：设 AO a, OC b 则 AC a ,bCB a b , 由此得： 可CA C B a b a 2 2b2 2 a ba

b考：能否思向用量坐标形 证式明？

2r r 2 0

即AC C B 0 ,∠CBA9=°0

小结:1(建)立面平何几与量向联的系，向用表 示问量中题涉及几的何素元，平面几将何问题转 为向化问题； 量2)(通向量过运算研，究何元素之间几的关系， 如距、离夹等问题角 (;)把3算运果结“译翻”几何元素成。

向量用法解决平方面几何问的“三步曲”题