竞赛讲义：四边形创新题(含答案)

四边形综合创新题

1.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

中点 中点

①② ②

请你根据上面的作图原理，并用上面的图示方法，解答下列问题：

（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．

（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

2.已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE BC于点E，过点G作GF BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A ，B ，C 处．若点A ，B ，C 在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A B C （即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

B B

图2

图1

备用图 备用图

（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C 的面积；

（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A B C 存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． 解：（1）重叠三角形A B C 的面积为 ； （2）用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积为 ；m的取值范围为 ．

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3.我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 、 ；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时，这对60 角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

4.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t. （1）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

（2）四边形PDCQ可以是菱形吗？如果可以，求出t的值；如果不可以，说明理由. （3）四边形PDCQ可以是等腰梯形吗？如果可以，直接写出t的值；如果不可以，说明理由. D B

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5.（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

k

（2）结论应用：① 如图2，点M，N在反比例函数y （k＞0）的图象上，过点M作

x

ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．

② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行？请说明理由. D C

A

图 1

B

图 3

6. 已知：点

A(

2,1)，B(2, 1)，正比例函数y ax(a 0)与反比例函数y 的图像交于C,D两点，

（1）求证：四边形ACBD是平行四边形． （2）当a

k

(k 0) x

1

,k 2时，判定四边形ACBD的形状． 2

（3）当a 2,k 2时，判定四边形ACBD的形状． （4）当a 2,k 6时，判定四边形ACBD的形状．

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2解：（1）重叠三角形A B C

（2）用含m的代数式表示重叠三角形A B C

m)2；

8

m的取值范围为≤m 4．

3

3．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分 , 最多给2分 . （2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时, 这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长． 3分 方法一：如图1， A

已知：四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，AC = BD， 且∠AOD = 60°.

求证：BC＋AD≥AC．

EB证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE＝AC．

F

连结CE、BE． 4分

图1

故 ∠EDO = 60°，且四边形ACED是平行四边形．

AD

所以 △BDE是等边三角形，CE＝AD． 6分 所以 DE＝BE＝AC． ①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1）， 在△BCE中，有BC＋CE＞BE．

B

所以 BC＋AD＞AC． 7分 F图2

②当BC与CE在同一条直线上时（如图2）， 则 BC＋CE＝BE．

因此 BC＋AD＝AC． 8分 综合①、②，得 BC＋AD≥AC．

即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之

和大于或等于其中一条对角线的长．

4.解:（1）因为AD∥BC，当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形， ∵DP=18-t，CQ=2t 即18-t =2t， ∴t=6.

∴当t=6s时，四边形PDCQ是平行四边形.

（2）若四边形PDCQ是菱形，则四边形PDCQ首先是平行四边形 ∴t=6，当t=6时，DP=18-6=12，过D作DM⊥BC交BC于M， ∵∠B=90°，AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形. ∴CM=BC -BM = BC -AD =21-18 =3cm 又DM = AB=14cm，

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∴Rt△CDM中，由勾股定理CD CM2 DM2 196 12 即CD≠DP，四边形PDCQ的邻边不相等，∴四边形PDCQ不可以是菱形.

（3）过P作PN⊥BC交BC于N，若四边形PDCQ是等腰梯形，则QN=CM =3cm ∴DP= CQ -CM -QN = CQ -6 ∴18-t=2t-6 ∴t=8

∴当t=8s时，四边形PDCQ是等腰梯形.

5.解：（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥

垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°． ∴ CG∥DH． ∵ △ABC与△ABD的面积相等， ∴ CG=DH． ∴ 四边形CGHD为平行四边形． ∴ AB∥CD．

（2）①证明：连结MF，NE．

设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．

∵ 点M，N在反比例函数y ∴ x1y1 k，x2y2 k． ∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴， ∴ OE=y1，OF=x2． ∴ S△EFM=S△EFN＝

k

（k＞0）的图象上， x

11

x1 y1 k， 22

11

x2 y2 k． 22

∴S△EFM =S△EFN．

由（1）中的结论可知：MN∥EF． ② MN∥EF．证明与①类似，略．

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