2011高中数学精品复习课件：圆与方程

1.圆心为点C(8,-3),且过点A(5,1)的圆 的标准方程为( D ) A.(x+8)2+(y-3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25

B.(x-8)2+(y+3)2=5D.(x-8)2+(y+3)2=252

半径 r CA (8 5)2 ( 3 1) 5,所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2

=25.选D.

2.方程y= 4 x 2 对应的曲线是( A )

原曲线方程可化为x2+y2=4 (y≤0),表示下半圆,选A.

3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相 切，则圆的方程为( B ) A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0

C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0

设圆心为(0,b),由题意， 则圆的方程为x2+(y-b)2=b2.

因为半径为5.所以 b =5,b=±5.故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y210y=0.选B. 易错点：圆心的位置可能在y轴上半 轴或下半轴.

4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与 圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程 2+(y+2)2=1 ( x -2) 为 . 设圆C2的圆心为(a,b),则依

题意，

有

a 1 b 1 1 0 a=2 2 2 ,解得： b 1 b=-2. 1 a 1

对称圆的半径不变，为1,故填(x-2)2+ (y+2)2=1.

5.若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线 x-y+1=0对称，则实数a= 3 .依题意直线x-y+1=0,过已知圆的2 a2 1 a 1 , a ), 圆心 ( 所以 a 1 0, 2 2

解得 a=3 或 a=-1 ,当 a=-1 时，方程 x2+y2+ ( a2-1 ) x+2ay-a=0 不能表示圆，所以只能取 a=3.填3.易错点：方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 仅在 D2+E2-4F>0时才表示圆，因此需检验不等式 是否成立.

1.圆的定义：平面内到一个定点的距离 等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定 点叫做圆心，定长叫做圆的半径. 2.圆的方程

( 1 )标准方程：以( a,b )为圆心， r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+ (y-b)2=r2.

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程1 D E ,其圆心的坐标为 r ( , ), 半径 2 2 2 D 2 E 2 4F ;

当D2+E2-4F=0时，只表示一个点(-D2,E2); 当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.

3.点与圆的位置关系 圆的标准方程为( x-a ) 2+ ( y-b ) 2=r2 , 圆心C(a,b),半径r, 若点 M ( x0,y0 )在圆 C 上，则( x0-a ) 2+ (y0-b)2=r2; 若点 M ( x0,y0 )在圆 C 外，则( x0-a ) 2+ (y0-b)2>r2; 若点 M ( x0,y0 )在圆 C 内，则( x0-a ) 2+ (y0-b)2<r2.

4.对称问题 圆(x-a)2+(y-b)2=r2关于直线x=0的对 称圆的方程为(x+a)2+(y-b)2=r2;关于直线 y=0 的对称圆的方程为( x-a ) 2+ ( y+b ) 2=r2 ; 关于直线y=x的对称圆的方程为(x-b)2+(ya ) 2=r2 ; 关 于 直 线 y=-x 的 对 称 圆 的 方 程 为 (x+b)2+(y+a)2=r2. 5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分这条弦所对的两段弧 .若 AB为圆 O 的 弦，圆心O到弦AB的距离为d,圆半径为r,则AB 2 r 2 d 2 .

重点突破：圆的方程

例1 (Ⅰ)求过两点A(1,4),B(3,2),且

圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点 P (2,4)与圆的位置关系. (Ⅱ)求过A(4,1),B(6,-3)C(-3,0) 三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心 C 坐标.

(Ⅰ)欲求圆的标准方程，只 需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P 与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离 和圆的半径的大小关系 .( Ⅱ )设出圆的方 程，解方程组即可.

(Ⅰ)解法1:(待定系数法)设 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆心在y=0上,故b=0,

所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2又因为该圆过A(1,4),B(3,2)两点,则

(1-a)2+16=r2(3-a)2+4=r2

,解得a=-1,r2=20.

解法 2 :(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过A(1,4),B(3,2)两点，4 2 为kAB= =-1,故l的斜率为1, 1 3

所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因 又AB的中点为(2,3),故线段AB的中

垂线l的方程为x-y+1=0.