八年级数学下册 培优专题1.勾股定理及应用 北师大版

培优专题1勾股定理及应用

勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”． 勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．

例1.

在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？

练习1

1．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°， 求图形中阴影部分的面积．

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2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．

3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ）

A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13

例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合， 若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？

练习2

1．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB= 3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B 离墙脚O 的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

2-4

3．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合， 则折叠后痕迹EF的长为（ ）

A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．

3.77

例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数） 的三角形是否是直角三角形？ 分析 先确定最大边， 再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．

练习3

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=置关系，并说明理由．

14

BC，猜想AF 与EF的位

2-6

3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1． B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．

C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定． D．△ABC不是直角三角形．

例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5． 求证：△ABC是直角三角形．

分析 欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD， 从而有△BDE ≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．

练习4

先阅读下列解题过程：

解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ① ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）． ② ∴c2=a2+b2． ③ ∴△ABC为直角三角形． ④

问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________； （2）本题的正确结论是________．

2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．

1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．

3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1， PC=2，求∠BPC的度数．

例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长． 分析 若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt △ADC的直角边． ∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程． 解：作AE⊥BC于E． ∵AB=AC，AE⊥BC，

11

∴BE=EC=BC=×32=16．

22 在Rt△AEC中，

AE2=AC2-CE2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x，

则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202． ∴144+x2=（16+x）2-202 解得x=9．

∴BD=BE-DE=16-9=7． 练习5

1．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．

求证：AD2=AC2+BD2．

2-12

2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．

2-13

3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面处，问绳子最短是多少厘米？

2-14

到达C

练习1

1．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A、B为对称点（如图） ∵S=AB×BC，AB=2， ∴BC=AD=

S2

．

12

根据对称性得DF=AB=1．

由于∠D=90°，据勾股定理得：

1

2

（2）以A、D为对称点（如图）

1S

∴BF=BC=．

24

由∠B=90°，据勾股定理得：

3．D 练习2 1．

214

．

（提示：利用Rt△ABE的勾股定理即可求出）

2．0.8m 3．B 练习3 1．B

2．AF⊥EF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC= AF2=AD2+DF2=a2+（

a2

a2

a4

，EC=，在Rt△ADF中，由勾股定理得：

）2=

54

a2． a2

同理：在Rt△ECF中，EF2=（在Rt△ABE中，BE= ∵

54

34

）2+（

9

a4

）2=a2=

5

a，则AE2=a2+

16

252

a2，

1616

a．

a2+

516

a2=

2516

a2，

∴AF2+EF2=AE2． ∴∠AFE=90°． ∴AF⊥EF．

3．A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）

1．（1）③、④

（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2， ∴∠C=90°．

将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点 ∴CD=DE， AC=AE=5． 则△ACD≌△AED． 又BE=AB-AE=8．

设CD为x，则x2+82=（12-x）2． 解之得x=

103

为E（如图）

． 103

∴AD2=52+（

3

）2．

∴

AD=．

3．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB． 即∠ACP=∠BCE． ∴△PCA≌△ECB（SAS）． ∴BE=AP=3． 在Rt△PCE中， PE2=PC2+CE2=8． …… 此处隐藏：1814字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……