圆锥曲线总复习

戴氏教育 梁家巷校区 高二数学

圆锥曲线总复习

常用结论

一、椭 圆

22

1.椭圆的一般方程:mx+ny=1(m>0，n>0) 当已知椭圆过已知两点,求标准方程时用此方程可避免分类讨论的麻烦。

2. 点P（x0,y0）与椭圆

（8）椭圆（及双曲线）的通经（圆锥曲线中，垂直于焦点所在对称轴的焦点弦称为通经）

AB过F１（－c,0）时，通经的端点坐标为A(-c , b), B(-c ,－ b) (或AB过F2（c, 0）时,有A(c , b) ,

aaa

2

22

22

bbB(c , －)) ， AB=2， aa

4. 图2-5,椭圆的离心率：

xy

的位置关系及代数表达形式（与圆的情形类似）： 可以椭圆的第一定义证明： 122

ab

22

r1①离心率定义e =c ②椭圆的第二定义：re ③e=cos 2 e (0,1)特别地OF1:OA=OF2:OA=

dda12∠BF1O ④e=sin∠F1BO 二、双曲线

1. 双曲线的一般式:mx+ny=1(mn<0) 。 2. 双曲线渐近线：

22

xyxy

①x y 1(a>0,b>0)的渐近线方程是2 2 0，即 0；

ababa2b2

2

2

22

x0y0x2y2

①点P（x0,y0）在椭圆2 2 1上 2 2 1

abab22

x0y0x2y2

②点P（x0,y0）在椭圆2 2 1的内部 2 2 1

abab

22

③点P（x0,y0）在椭圆

xyxy

的外部 1 1 22

abab

22

2

02202

3．焦点三角形PF1F2及焦点弦PQ的性质：

x2y2

点P（x0,y0）在椭圆2 2 1（ a>b>0）上 ，F1（ - c ,0）, F2（c ,0）分别是椭圆的左右焦点(

半焦距

ab

2222

xyxyxy②反之，知道渐近线方程 0求双曲线方程可设2 2 ，即2 2 1 注意易错： 焦ababa b

点位置和 的符号有关！及时调整为标准式；

c ，a=

PF1 PF2)

2

222222xyxyxy③ 2 1与2 2 （即2 2 1， 可正可负但不为0）共渐近线；

aba b a2b

（1）．左焦半径公式PF1=r1=a+ex0 ，右焦半径公式PF2= r2 = a－ex0 （记忆：左加右减！） （2）如图2-4椭圆上最大的焦半径是AF1=a+c；椭圆上最小的焦半径是AF2=a－c

（3）以焦半径公式可易证：椭圆上不同的三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，若三条相应焦半径（如F1A、F1B、

F1C）成等差数列 x1、x2、x3成等差数列，即2x2=x1+x2 。

（4）过F1的弦PQ(焦点弦)与F2构成三角形PQF2的周长为4a (以椭圆的第一定义和整体思想易证)（5）以椭圆的焦半径为直径的圆必定与以长轴为直径的圆相切；

//

（6）以焦点弦PQ为直径的圆必与椭圆的准线相离（证：记PF1=r1，PF1=r1，P和Q到准线的距离记为d1和d1，不

2222

④x y 1与y2 x2 1共渐近线，它们互换实轴和虚轴，称为共轭双曲线，离心率满足关系

22

abba

11

1 22exey

3. 关于等轴双曲线：

x2y2x2y2

（1）等轴双曲线形式：①2 2 1 或 ②； 1 或 ③x2 y2 （其中λ≠0）

aa

（2）等轴双曲线的渐近线为：y=±x； （3）等轴双曲线的离心率

。

r1r1'

' e (0,1)知r<d证得：r1+r1/<d1+d1/）难由（类似地：双曲线的――相交，抛物线的――相切！） d1d1

（7）焦点三角形: 若∠F1PF2=θ，则面积S F1PF2

b2tan

2

4. 双曲线的焦点到渐近线的距离为b 。

22xy5. 双曲线的焦点弦及焦点三角形的性质：双曲线 2 1，F1（- c ,0）, F2（c ,0）分别是双曲线的左右a2b

22

yx焦点在y轴上的双曲线 1中，若 是过一、三象限的渐近线的倾斜角，k为斜率，则离心率是a2b2

焦点(

半焦距c

，a=

PF1 PF2

2

e=csc

=)

。 （1）．左焦半径公式PF1=r1=

a ex0 ，右焦半径公式PF2= r2 = ex0 a a ex0 （记忆：左加右减！

除绝对值外，形式与椭圆形似）

（2）双曲线上最小的焦半径是AF1= c - a ；双曲线无最大的焦半径（x (－∞,－a)∪(a,＋∞）)。 （3）过F1的弦(焦点弦)PQ=m，与F2构成三角形PQF2的周长为4a＋2m (以双曲线的第一定义和整体思想易证)

//

（4）以焦点弦AB为直径的圆必与双曲线的准线相交（证：记AF1=r1，BF1=r1，A和B到准线的距离记为d1和d1，

2222xyyx ④焦点在x轴的 m(m 0)与焦点在y轴的2 2 n(n 0)共渐近线，它们离心率满足关a2b2ba

系1 1 1 。

22exey

7．当－b< k < b时，双曲线

2 2

y2x2y2x2

与双曲线 2 1 2 1共焦点。 22

a kb kab

r1r1'

' e (1, )知r>d证得：r1+r1/>d1+d1/） 。 不难由

d1d1

（类似地：椭圆的――相离，抛物线的――相切！）

2

（7）焦点三角形: 若∠F1PF2=θ，则面积S F1PF2 bcot

2

（8）双曲线的特殊焦点弦――通经（圆锥曲线中，垂直于焦点所在对称轴的焦点弦称为通经）：

2

①双曲线的通经AB=2b ；

a

22bb ②AB过F１（－c,0）时，通经的端点坐标为A(-c , ), B(-c ,－ ) ； aa

三、抛物线

1.标准方程、焦点和准线：

2

(1) y=2px的焦点F（p/2,0），准线是x=－p/2；

2

而x=2p y的焦点F（0,p/2），准线是y= p/2

22

规律： 已知y=ax，则焦点F（a/4,0），准线是x=－a/4；而x=ay的焦点是F（0，a/4），准线是y=－a/4 2．焦点弦与焦半径:

2

（1）．P（x0,y0）是抛物线y=2px（p>0）上的点，则焦半径|PF|=P点到准线的距离d=x0+p/2）

2

P（x0,y0）是抛物线x=2py (p>0)上的点，则焦半径|PF|=P到准线的距离d=y0+p/2

（2）．常用数形结合与整体代入结合韦达定理求焦点弦长：

①焦点在x轴的正半轴时y=2px（p>0）焦点弦长AB =（x1＋x2）+p ②焦点在y轴的正半轴时x=2py (p>0) 焦点弦长AB =（y1＋y2）+p

22

22

AB过F2（c, 0）时, 通经的端点坐标为A(c , b) , B(c , －b) 。

aa

③ y=2px 中，焦点弦与x轴所成角为 （未必是倾斜角！倾斜角可以是钝角），则焦点弦长为

2

AB

6．求双曲线的离心率：

①离心率定义e =c。 常将题中几何条件化为关于a和c的二元其次方程f(a,c)=0求解。

ar1 r2 e (1, )特别地，若A为双曲线的一个顶点，则OF1:OA=OF2:OA= e 。

d1d2

22

xy ③焦点在x轴上的双曲线 2 1中，若 是过一、三象限的渐近线的倾斜角，k为斜率，则离心率a2b

2po

， 特别地，当＝90时，AB 2p（＝通经） 2

sin

2

( 3 )． y=2px.通经：

①焦点弦中以通经为最短 ②通经长为2p ，③端点的的坐标为（p, p）和（p, －p）

22( 4 )． 经过抛物线y=2px (p>0) (*)的焦点作一条直线l交抛物线于A(x1 ,y1)、B(x2, y2) ,则 ①l的方程为x=p (通经所在直线)，或y=k(x－p) (**)

22

2

②(*)、(**)两式联立： 消x得方程ky2 y pk 0， 得y1y2=－p（定值）

2

2p2

是e=sec

=

222kpp 消y得方程kx (kp 2p)x (定值) 0， 得x1x2=44

2

2

2