基于极大值原理的最优控制

现代控制理论-极大值原理实例分析

现代控制理论实例分析： 基于极大值原理的最优控制

现代控制理论-极大值原理实例分析

例：设宇宙飞船质量为m(t),高度为h(t),垂直速度为v(t),发动机推力为 u(t),月球表面的重力加速度设为常数g,不带燃料的飞船质量为M,初始燃料 的总质量为F,发动机最大推力为 umax ,发动机飞船的状态方程为:h(t ) v (t ) , h(0) h0 u (t ) v (t ) g , v (0) v0 m(t ) m(t ) ku(t ),

m(0) M F

要求飞船在月球上实现软着陆,即终端约束为

1 h(t f ) 0 , 2 v(t f ) 0发动机推力u(t ) 受到的约束为： 0 u(t ) umax , t [0, t f ]

试确定最优控制 u (t ) ,使飞船由已知初态转移到要求的终端状态并使飞船 燃料消耗最少,即使得

J m(t f ) min

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1)构造哈密而顿函数u H 1v 2 ( g ) 3 ( ku ) m

solition

式中， 1 、 2 和 3为待定的拉格朗日乘子 2)由协调方程 1 (t ) H 0 h H 2 (t ) 1 (t ) v

3 (t )

H 2 (t )u (t ) m m 2 (t )

3)由横截条件 1 (t f ) 2 (t f ) 1 1 1 h(t f ) h(t f )

J m(t )

2 2 2 v(t f ) v(t f ) 3 (t f ) 1 m(t f )

1 h(t f ) 2 v(t f )3

1 和 2 为待定的拉格朗日乘子 式中，

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4)将哈密顿函数整理为H 1v 2 ( u g ) 3 ( ku ) ( 1v 2 g ) ( 2 k 3 )u m m

5)由极小值条件，H相对于 u (t ) 取绝对极小值。因此，最优控制为

2 u , max m k 3 0 u (t ) 0, 2 k 3 0 m 上述结果表明,只有当发动机推力在最大值和零值之间进行开关 控制,才有可能在实现软着陆的同时，保证燃料消耗最少。

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