1.5.1曲边梯形的面积

在过去的学习中, 我们已经知道正方形、三角 形、平行四边形、梯形等平面 " 直边图形 " 的 面积 ; 物理中 , 我们知道了匀速直线运动的时 间、速度与路程的关系等等.在数学和物理中, 我们还经常会 遇到计算平面曲线围成的平面 "曲边图形 "的面积、变速直线运动物体位移、 变力做功的问题 .如何解决这些问题呢 ? 能否 把求 "曲边图形 " 面积转化为求 " 直边图形 " 面 积 ? 能否利用匀速直线运动的知识 解决变 速 直线运动的问题 ? 为此 , 我们需要学习新的数 学知识 定积分.

在学习过的函数中, 许多函数 (例如 y x, y x , y x等) 的图形都是某个区间I 上2

的一条连续不断的曲线 .一般地, 如果函数 y f x 在某个区间I 上的图象是一条连续 不断的曲线, 那么我们就把它称为区间I 上 的连续函数. 如不加说明, 下面研究的都是连续函数.

y

f b f a

y f x

o

a图1.5 1

b

x

思考 图1.5 1中, 阴影部分类似于一个梯形, 但有一 边是曲线 y f x 的一段, 我们把由直线 x a, x b

a b , y 0和曲线 y f x 所围成的图形称为曲边梯形, 如何计算这个曲边梯形的面积呢 ?

下面先研究一个特殊情 形 : 如何求抛物线 y x2 与直线x 1 , y 0所围所的平面图形 (图 1.5 2中 阴影部分)的面积S ?图1.5 2中的图形可以 看成是直线x 0 , x 1, y 0 和曲线y x 2所围 成的曲边梯形 .y

y x2

So

图1.5 2

1

x

思考 图1.5 2中的曲边梯形与我们熟悉的" 直边 图形 "的主要区别是什么? 能否将求这个曲边梯形 面积 S 的问题转化为求 " 直边图形 " 面积问题 ?

可以发现,图1.5 2中的曲边 梯形与" 直边图形 " 的主要区 别是, 前者有一边是曲线段 , 而" 直边图形 " 的所有边都是 直线段. 在过去的学习中, 我们曾经

y

y x2

So1

x

图1.5 2

用多边形逼近圆的方法, 利用多边形面积求出圆 的面积 .这种"以直代曲"的思想启发我们 , 是否也 能用直边形(比如矩形)逼近曲边梯形的方法, 求图 1.5 2 中阴影部分面积呢 ?

如图1.5 3, 把区间 0,1 分成 许多小区间, 进而把曲边梯形 拆分为一些小曲边梯形 .对每 一个小曲边梯形 "以直代曲 " 即用矩形的面积近似 代替小 曲边梯形的面积, 得到每个小

y

y x2

o

i 1 i n n

1 x

图1.5 3

曲边梯形面积的近似值.可以想象, 随着拆分越来越 细, 近似程度就会越来越好. 也即 : 用化归为计算矩 形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我 们通过下面步骤来具体实施这种方法.

1 分割

在区间 0,1 上间

y

隔地插入 n 1个点, 将它等 分成n个小区间 :

y x2

1 1

2 n 1 i o 0, , , , , ,1 , 1 x n n n n n 图1.5 3 i 1 i 记第i个区间为 , i 1, 2, , n , 其长度为 n n i i 1 1 x . 分别过上述 n 1个点作 x轴的 n n n 垂线, 把曲边梯形分成 n个小曲边梯形 图1.5 3 ,i 1 n

它们的面积记作 Δs1, ΔS2 , , ΔSn .显然, S ΔSi .i 1

n

y

2 近似代替y x2

记f x x .2

如图 1.5 3 , 当n很大 , 即 i 1 i x很小时, 在区间 , n n 上, 可以认为函数f x x 2 的值变化很小, 近似等于一 个常数, 不妨认为它近似地 i 1 等于左端点 处的函数 n i 1 .从图形上看, 就是 x 值f n 用平行于x轴的直线段近似

oy

i 1 i n n

1 x

图1.5 3y x2

o

i 1 i n n

1

图1.5 4

y

地代替小曲边梯形的曲y x2

边 图1.5 4 .这样, 在区 i 1 i 间 , 上, 用小矩形 n n 的面积 Si' 近似地代替 Si , 即在局部小范围内 "以直代曲", 则有 Si i 1 S f x n ' i

oy

i 1 i n n

1 x

图1.5 3y x2

o

i 1 i n n

1

x

图1.5 4

i 1 1 i 1, 2, , n . n n

2

3 求和n i 1

由 2 ,图1.5 4中阴影部分的面积 S n 为' i n i 1

S n S 2

i 1 i 1 1 f x n n i 1 n n2

2

1 1 1 n 1 1 可以证明 0 n n n n n 2 21 2 2 2 3 1 2 n 1 n

1 2 n 1 n 1 n 2n 1 . 6

2

1 n 1 n 2n 1 1 1 1 3 1 1 . n 6 3 n 2n

1 1 1 从而可得 S的近似值 S Sn 1 1 . 3 n 2n

y

y

yy x2

y

y x

2

y x2

y x2

o1x o1x o

1x

o

1x

图1.5 5

4 取极限

分别将区间 0,1 等分成4,8,, 20, 等份

图1.5 5 , 可以看到, 当n趋向于无穷大,即 x趋向1 1 1 于0时, Sn 1 1 趋向于S , 从而有S 3 n 2n 1 i 1 1 1 1 1 lim Sn lim f lim 1 1 . n n n n 3 n 2n 3 i 1 nn

我们通过下表还可以从 数值上看出这一变化趋 势.区间 0,1 的等分数n 2 4 8 16 32 64 128 256 512

S的近似值Sn 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741

探究 在 " 近似代

替" 中,如果认为函数f x x 2 在 i 1 i 区间 , i 1 ,2, , n 上的值近似地等于右端 点 n n i i 处的函数值 f , 用这种方法能求出 S 的值吗? n n 1 i 1 i 若能求出 , 这个值也是 吗 ? 取任意ξ i , 处 3 n n 的函数值f ξ i 作为近似值 ,情况又怎样?

y

(过剩近似值)

y x2

1 n

2 n

k n

n n

x

1 n(n 1)(2n 1) 1 i S= lim Sn lim f = lim 3 n n n n 6 i 1 n n 1 2 2 1 1 1 1 2 2 lim 3 [1 2 (n 1) n ] = lim (1 )(2 ) . n 6 n n n n 3n