三角函数典型考题习题精选精讲

三角函数典型考题归类解析

1．根据解析式研究函数性质

例1已知函数f(x) 2cosx(sinx cosx) 1，x R．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间 上的最小值和最大值．

84解析：（Ⅰ）f(x) 2cosx(sinx cosx) 1 sin2x cos2x 因此，函数f(x)的最小正周期为π．

π3π

π

2x ．

4

（Ⅱ）解法一：因为f(x)

π π3π 3π3π

2x 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，

4 88 84 π 3π 3ππ

f 1，

4 4 24

又f

π

0， 8

3π

f 8

π3π

故函数f(x)在区间

1．

84

解法二：作函数f(x)

π

2x 在长度为一个周期的区间

4

π9π π3π 上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大

f(x) 84 84

f

3π

1． 4

点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数

y Asin( x )的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函

数，然后借助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题

得以形象直观展示出来易于解决. 练习1、已知函数f(x) 1 2sin2 x

π π π 2sinx cosx ． 8 8 8

求：（I）函数f(x)的最小正周期；（II）函数f(x)的单调增区间．

ππππ

x ) x ) 2x．

44422π

π； （I）函数f(x)的最小正周期是T 2π

（II）当2kπ π≤2x≤2kπ，即kπ ≤x≤kπ（k Z

）时，函数f(x) x是增函数，故

2

解析：f(x) cos(2x )

sin(2x )

π4

函数f(x)的单调递增区间是[kπ

π

，kπ]（k Z）． 2

1π

g(x) 1 sin2x． ， 212

练习2、已知函数f(x) cos2 x

（I）设x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．（II）求函数h(x) f(x) g(x)的单调递增区间．

解析：（I）由题设知f(x)

1π

[1 cos(2x )]． 26

π π

kπ，即2x0 kπ （k Z）． 66

因为x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴，所以2x0 所以g(x0) 1

11π113 π

sin2x0 1 sin(kπ )．当k为偶数时，g(x0) 1 sin 1 ， 2262 6 44

1π15

sin 1 ． 2644

当k为奇数时，g(x0) 1 （II）h(x) f(x) g(x)

1 π 1 1 cos2x 1 sin2x 2 6

2

311 π 311π 3

cos 2x sin2x x sin2x sin2x ． 2 6 222223 2

当2kπ

πππ5ππ

≤2x ≤2kπ ，即kπ ≤x≤kπ （k Z）时， 2321212

函数h(x)

1 π 35ππ

故函数h(x)的单调递增区间是 kπ ． sin 2x 是增函数，，kπ （k Z）

2 3 21212

π

2

2．根据函数性质确定函数解析式

0 ≤)的图象与y

轴相交于点(0，且该函例2、如图，函数y 2cos( x )(x R， >0，≤

数的最小正周期为 ．

（1）求 和 的值；

（2）已知点A ，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的

0 ，

π

2

中点，当y0

π

，x0 ，π 时，求x0的值． 2 2

ππ，因为0≤ ≤，所以 ．

26解析：（1）将x

0，y y

2cos( x )cos 由已知T π，且 0，得

2π2π

2．

Tπ

（2）因为点A ，0 ，Q(x0，y0)是PA

的中点，y0

π

2

π ．所以点P

的坐标为 2x0 ． 2 又因为点P在y 2cos 2x

π5π π ≤x≤

π的图象上，且，所以 cos4x 0 0 26 62

7π5π19π5π11π5π13π2π3π

≤4x0 ≤ ，从而得4x0 或4x0 ，即x0 或x0 ． 666666634

解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数 的值，根据题意图象与y

轴相交于点(0建立等式关系凭借 的限制条件就能确定 的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点Q(x0，y0)将点P表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可. 练习1、已知函数f(x) sin x

π π 2 x sin x 2cos，x R（其中 0），（I）求函数 6 6 2

π

，求函2

f(x)的值域； （II）（文）若函数y f(x)的图象与直线y 1的两个相邻交点间的距离为

数y f(x)的单调增区间．

（理）若对任意的a R，函数y f(x)，x (a，a π]的图象与直线y 1有且仅有两个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数y f(x)，x R的单调增区间．

解析：（I

）f(x)

11

x cos x x cos x (cos x

1) 2222

π

2sin x 1

6 1

1

．

由

1

2 sin x cos x 1 2 2

1≤

π

s xi ≤

6

，

得1

3≤

π

2 sx n≤，

6

可知函数f(x)的值域为[ 31]，．

（II）（文）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y f(x)的周期为π，又由 0，得得 2； 于是有

2π

π，即

ππππ

f(x) 2sin 2x 1，再由2kπ ≤2x ≤2kπ (k Z)，解得

2626

kπ

ππ

≤x≤kπ (k Z)． 63

所以y f(x)的单调增区间为 kπ

ππ

，kπ (k Z) 63

2

（理）由题设及三角函数图象和性质可知，函数y f x 的周期为 ，而 0，则即得 2，f(x) 2sin(2x 由2k

6

) 1，

2

2x

6

2k

2

(k Z)解得k

6

x k

6

(k Z)，

即函数y f x 的单调递增区间为[k 练习2、在△ABC中，已知内角A

6

,k

6

](k Z).

，边BC B x，周长为y．

（1）求函数y f(x)的解析式和定义域；（2）求函数y f(x)的最大值． 解析：（1）△ABC的内角和A B C ，由A

2 ，B 0，C 0得0 B ．应用正弦定理，

知

AC

BCsinB x 4sinx

sinAsin

，

AB

BC 2

sinC 4sin x sinA

．因为

y AB BC AC，

所以y 4sinx 4sin

2 2 x 0 x ，

3

1 5

cosx sinx （2

）因为y 4 sinx

x x ， 2

所以，当x

，即x 时，y

取得最大值

1π13

,cos(α-β)＝，且0<β<α<,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β. 7214

3．三角函数求值 例3、已知cosα=

解析：（Ⅰ）由cos

1π，0

，得sin ．