高中数学专题——立体几何专题

专题三立体几何专题

【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间

点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的

试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、

空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载

体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，

综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的

同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视

图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．

【例题解析】

题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算

例1（2008 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是

长为a和b的线段，则a b 的最大值为

A ．2 2 B． 2 3 C． 4 D． 2 5

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为

m, n, k ，由题意得 2 2 2 7

m n k ，

2 2 6

m k n 1，

2

1 k a ，

2

1 m b，所以

2 2

(a1) (b 1) 6

2 2 8 2 2 2 2 2

a b ，∴(a b) a 2ab b 8 2ab 8 a b 16 a b 4当且仅当 a b 2时取等号．

点评：本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图

把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决．

例 2 （2008 高考山东卷、2009 年福建省理科数学高考样卷第 3 题）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A ．9πB．10πC．11πD．12π

分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答．

解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的

半径是1，故其表面积是 2 2

2 1

3 2 1

4 1 12 ，答案D．

点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则．例3（江苏省苏州市2009 届高三教学调研测试第12 题）已知一个正三棱锥P ABC 的

主视图如图所示，若

3 AC BC ，

2

PC 6 ，则此正三棱锥的全面积为_________．

分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试

图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一

条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长．

解析：这个正三棱锥的底面边长是3、高是 6 ，故底面正三角形的中心到一个顶点的

距离是

2 3

3 2 3 3

，故这个正三棱锥的侧棱长是

2 2

3 6 3 ，由此知道这个

正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形，故其全面积是

3

2

4 3 9 3

4

，答案9 3 ．

点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心．

题型 2 空间点、线、面位置关系的判断

例4（江苏苏州市2009 届高三教学调研测试7）已知m,n是两条不同的直线，, 为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m ,n，m n ，则；

②若m// , n // ,m n ，则// ；

③若m ,n // , m n ，则// ；

④若m ,n // , // ，则m n．

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________ ．

分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断．

解析：我们借助于长方体模型解决．①中过直线m,n 作平面，可以得到平面, 所

成的二面角为直二面角，如图（1），故①正确；②的反例如图（2）；③的反例如图（3）；④中由m , P 可得m ，过n 作平面可得n 与交线g 平行，由于m g ，故m n．答案①④．

点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是

通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时

合理地使用这个模型是很有帮助的．

例5（浙江省2009 年高考省教研室第一次抽样测试理科第 5 题）设m,n是两条不同的

直线，, 是两个不同的平面，下列命题正确的是

A ．若m n, m ,n// ，则// B．若m// ,n// , // , 则m // n C．若m ,n// , // ，则m n D．若m// n,m // , n// , 则//

分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断．

解析：对于// ，结合m ,n// , 则可推得m n．答案C．

点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是

考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度．

题型 3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）

例6．(2009 江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E 、

F 分别为DD1、D B 的

中点．

（1）求证：EF //平面A BC D ；

1 1

（2）求证：E F B C ；

1

（3）求三棱锥V B EFC

1

的体积．

分析：第一问就是找平行线，最明显的就是E F PBD ；第二问转化为线面垂直进行证

1

明；第三问采用三棱锥的等积变换解决．

解析：（1）连结B D ，如图，在DD1B中，

1

E 、

F 分别为D1D ，DB 的中点，则

EF / /D B

1

D B ABC D EF

平面

1 1 1

EF 平面ABC D

1 1 / / 平面A BC D ．

1 1

（2）

B C AB 1

B C BC B C平面ABC D B C BD

1111111 AB,B C ABC D BD ABC D EF//BD

平面平面

1111111 AB I BC B

1EF B C

1

（3）Q CF平面B DD B，CF平面EFB1且CF BF2，

11

1

Q EF BD3，

1

2

2222

B1F BF BB1(2)26，

2222

B1E B1D1D1E1(22)3∴222o，EF B F B E即EFB190

11

111

V V S CF=EF B1F CF=

B EF

C C B EF B EF

111

33211

32

3621

．

点评：这个题目也属于文科解答题的传统题型．空间线面位置关系证明的基本思想是转

化，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证

明线线 …… 此处隐藏：7729字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……