第七章 小波分析、分析工具及应用发展

小波变换

第七章 小波分析、 分析工具及应用发展

小波变换

复习回顾

小波分析来源小波分析来源于信号分析的需求.设一个有限分辨 率的连续信号 f t ,将其近似地表示为下列阶梯函 数(图1) 0 f 0 t Cn t n

0 Cn f n 为 为简化叙述,取整数点(n)为样点,式中 样本值,而其基函数 1 0 t 1 t others 0

n

并又将其称为“尺度函数”,如图2所示.

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我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时 1 信号表示为 f1 t Cn t n n

2

1 0 0 C C2 n C2 n 1 ,参见 显然,这里自然取 21 n

(图3).我们称上述算法为二分法.再分析二 分前后两个信号的偏差(图3)

g1 t f0 t f1 t

小波变换

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它具有形式1 n

t 1 而其基函数 others 它就是一种“小波函数”。 顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小 ”是指它具有衰减性,譬如是局部非零的;而称 之为“波”则是指它的波动性,即其振幅呈正 sin x 负相间的震荡形式.又如 也具有这种特 x 性。1 2

1 d C2 n C2 n 1 2

t g1 t d n 2 0 0 n1 n

, 这里0 t 1 2

1 t 1 如(图4)所示: 0

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小波函数 t 的重要价值在于:它通过 平移和伸缩可生成平方可积函数空间 L2 R 中一组正交基: 2 t n , k , n Z 从而可 , k f t dn 2 k t n 将信号 f t 进行分解: k

为进行信号分析,提供 L R 的一组正交基是 至关重要的.我们尤感兴趣的是,为了适应实 际需要,利用所给的小波函数能否派生出更 多、更适用的小波函数?2

n,k

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再考察上述尺度函数 t 与小波函数 t ,它们 可以看作是由函数 2t 经过下列两种不同的 运算生成的(见图5): 0 对称 t 2t 2t 1 t 2t 2t 1 1 从图5上看, t 和 t 具有不同的对称性,分别 记为“0”和“1”对称.

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我们再对所给小波函数 t 反复施行所谓 “0” 和 “1” 两种对称运算,则可生成一系列小波函数,如图6所示.即 t 施行“0” 对称运算→ t ; 施行“1” 对称运算→ 0 1 t t 0 t 施行“0” 对称运算→ t ; 施行“1” 对称运算→ 10 t 00 0 t 11 t 1 t 施行“0” 对称运算→ t ; 施行“1” 对称运算→ 01 t ……… ………1

这些小波函数组成一个函数库,图7表示自下而上地描述 了小波

库的生成过程.

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Matlab中的小波分析工具箱(Wavelet 3.0)

Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化 的小波分析工具，是一个很好的算法研究 和工程设计，仿真和应用平台。特别适合 于信号和图像分析，综合，去噪，压缩等 领域的研究人员。

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小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。 连续小波变换及其应用。 离散小波变换及其应用。 小波包变换。 信号和图像的多尺度分解。 基于小波变换的信号去噪。 基于小波变换的信号压缩。

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常用的小波基函数：参数表示morl mexh

小波基的名称Morlet小波 墨西哥草帽小波

meyrhaar dbN

Meyer小波Haar小波 紧支集正交小波

symNcoifN biorNr.Nd

近似对称的紧支集双正交小波Coifmant小波 双正交样条小波

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怎样获取小波基的信息：

在Matlab窗口键入“waveinfo(‘参数名’)>>waveinfo('meyr')

MEYRINFO Information on Meyer wavelet.

Meyer Wavelet

General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.

Family Short name

Meyer meyr