2012高三数学(理)二轮复习课件：第一篇 专题4 第3课时空间向量与

高三数学第二轮立体几何复习资料

第3课时

空间向量与立体几何

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l,m的方向向量分别为a=(a1 ,b1 ,c1),b=(a2 ,b2 ,c2).平面α、β的法向量分别为μ=(a3 ,b3 ,c3),v

=(a4,b4,c4)(以下相同)

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

(1)线面平行 l∥α a⊥μ a·μ=0 a1a3+b1b3+c1c3=0. (2)线面垂直 l⊥α a∥μ a=kμ a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3.

(3)面面平行α∥β μ∥v μ=kv a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4. (4)面面垂直 α⊥β μ⊥v μ·v=0 a3a4+b3b4+c3c4=0.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l,m的方向向量分别为 a=(a1 ,b1 ,c1),b= (a2 ,b2 ,c2).平面α、β的法向量分别为μ=(a3 ,b3 ,c3),v =(a4,b4,c4)(以下相同)

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

(1)线线夹角 设 l,m 的夹角为 π θ 0≤θ≤2 ,则

|a1a2+b1b2+c1c2| |a· b| cos θ= = 2 2 2 2 2 2. |a|· |b| a1 +b1 +c1 a2 +b2 +c2 (2)线面夹角 设直线 l 与平面 α 的夹角为 π θ 0≤θ≤2 ,

|a· μ| 则 sin θ= =cos〈a,μ〉 . |a||μ|

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

(3)面面夹角 设平面 α、β 的夹角为 θ(0≤θ≤π), |μ· v| 则|cos θ|= =|cos〈μ,v〉|. |μ||v|

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

3.求空间距离 直线到平面的距离， 两平行平面的距离均可转化为点到平面 → |PM· n| 的距离， P 到平面 α 的距离： 点 d= (其中 n 为 α 的法向量， |n| M 为 α 内任一点).

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F分别是 BB1,DC的中点. (1)求证：D1F⊥平面ADE. (2)设正方形ADD1A1的中心为M,B1C1的中点为

N,求证：MN∥平面ADE.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

证明：(1)如图，不妨设正方体的棱长 为 1,以 D 为坐标原点建立空间直角坐标 系 D-xyz, D(0,0,0), 则 A(1,0,0), 1(0,0,1), D 1 1 F 0,2,0 ,E 1,1,2 , → → 1 AD=(-1,0,0),D1F= 0,2,-1 , → → 1 0, AD· 1F=(-1,0,0)· 2,-1 =0. D

∴AD⊥D1F.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

1 → 1 → 又AE= 0,1,2 ,D1F= 0,2,-1 , 1 1 → → 0, ∴AE· 1F= 0,1,2 · 2,-1 D

1 1 = - =0. 2 2 ∴AE⊥D1F. 又 AE∩AD=A,D1F 平面 ADE, ∴D1F⊥平面 ADE.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

1 1 1 (2)∵M 2,0,2 ,N 2,1,1

1 → ∴MN= 0,1,2 → 1 由(1)知，D1F= 0,2,-1 是平面 ADE 的法向量.

1 1 → → 又∵MN· 1F=0+ - =0, D 2 2 ∴MN⊥D1F,

∵MN 平面 ADE,∴MN∥平面 ADE.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

1.空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是 利用相应的判定定理和性质定理去解决； 二是利用空间向量 法来论证. 2.用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论 证，而直接计算就行了，把几何问题代数化.尤其是在正方 体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷.但 是向量法要求计算必须准确无误. → 3.设平面 α 的法向量为 n,则 AB∥α AB· n=0.工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,BC=

2,CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1,D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点.求证： (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EGF∥平面ABD.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

证明： (1)如图所示， B 为坐标原点， 以 BA、 BC、BB1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 B(0,0,0) , D(0,2,2) , B1(0,0,4),设 BA=a,则 A(a,0,0), → → 所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2), → B1D=(0,2,-2), → → B1D· =0, BA → → B1D· =0+4-4=0, BD 即 B1D⊥BA,B1D⊥BD,因此 B1D⊥平面 ABD.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

a → a (2)E(0,0,3),G 2,1,4 ,F(0,1,4),则EG= 2,1,1 ,

→ → → EF=(0,1,1),B1D· =0+2-2=0, EG → → B1D· =0+2-2=0, EF 即 B1D⊥EG,B1D⊥EF,因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.

工具

专题四

栏目导引

高三数学第二轮立体几何复习资料

(2011· 全 国 卷 改 编 ) 如 图 ， 四 棱 锥 S - ABCD 中 ， AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC= 2,CD=SD=1.

(1)证明：SD⊥平面SAB; (2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值.工具

专题四

栏目导引