海文基础教程第一讲 函数 极限 连续题解

题型一 函数及相关性质

1,|x| 1,

【例1.1】设函数f(x) 则

0,|x| 1,f[f(x)]

1,|f(x)| 1,

【注解】因为f[f(x)] ，无论x

0,|f(x)| 1,

为何值时，|

f(x)| 1。因此

f[f(x)] 1

【例1.2】已知则 (x)

f(x) sinx，f[ (x)] 1 x2，

，其定义域为

【注解】 由题设知：

f[ (x)] sin (x) 1 x

则

2

(x) arcsin(1 x)

且|1

2

x| 1，即其定义域为[ ,]

2

【例1.3】设函数

f(x) lnx(tanx)e

sin2x

，则

。 f(x)是（ ）

(A) 偶函数. (B) 无界函数. (C) 周期函数. (D) 单调函数. 【注解】 选择填空题方法一是“排除法” 由于

f(x)中含有lnx因式，而该函数既是非奇非

偶函数，又是非周期函数，因此可以将(A)、(C)选项排除。

又因为函数

f(x)中的tanx，有

tan(n ) 0(n 0, 1, 2, )

函数

f(x)不具有单调性，故排除(D)选项。因此，只有

f(x)为无界函数。

(B)选项正确，即函数

方法二：“直接验证法”。因为

limf(x) limlnx(tanx)e

x

2

x

2

sin2x

因此函数

f(x)为无界函数，故选择(B)

【例1.4】设对任意x ( , )有f(x 1)

f(x)，则f(x)一定是（ ）

(A) 奇函数. (B) 偶函数. (C) 周期函数. (D) 单调函数. 【注解】 因为对任意x ( , )有

f(x 2) f(x 1)

f(x)

因此函数

f(x)一定是周期函数，故选项(C)正确！

|x 1|tan(x 3)

【例1.5】设函数f(x) ，2

(x 1)(x 2)(x 3)

则

f(x)在下列哪个区间内有界（ ）

(A) (0, 1). (B) (1, 2). (C) (2, 3). (D) (3, 4). 【注解】 由于函数在这些区间内皆连续，及函数极

限存在局部有界性，我们只要讨论函数在每个区间端点极限是否存在即可。因为

x 0

lim

lim

x 1

x 1

lim

x 2

lim

x 2

lim

x 3

lim

(x 1)tan(x 3)

f(x) lim2

x 0(x 1)(x 2)(x 3)

tan(x 3)tan3

lim 2

x 0(x 2)(x 3)18 (x 1)tan(x 3)

f(x) lim2

x 1(x 1)(x 2)(x 3)

tan(x 3)tan2

lim 2

x 1(x 2)(x 3)9

(x 1)tan(x 3)

f(x) lim2

x 1(x 1)(x 2)(x 3)

tan(x 3)tan2

lim 2

x 1(x 2)(x 3)9

(x 1)tan(x 3)

f(x) lim2

x 2(x 1)(x 2)(x 3)

tan(x 3)

lim 2

x 2(x 2)(x 3)

(x 1)tan(x 3)

f(x) lim2

x 2(x 1)(x 2)(x 3)

tan(x 3)

lim

2

x 2(x 2)(x 3)

(x 1)tan(x 3)

f(x) lim2

x 3(x 1)(x 2)(x 3)

x 3

lim 2

x 3(x 2)(x 3)

因此函数

f(x)只有在(0, 1)内有界。故选项(A)正确！

题型二 求极限

【例1.6】设数列xn与yn，满足limxnyn

n

0，则

下列叙述正确的是（ ）.

(A) 若xn发散，则yn必发散. (B) 若xn无界，则yn必无界. (C) 若xn有界，则yn必为无穷小量.

1(D) 若为无穷小量，则yn必为无穷小量.

xn

【注解】

1

(A) 若xn ( 1)，yn ，选项(A)错！

n

n

(B) 若xn [1 ( 1)]n，yn [1 ( 1)]n，

nn

选项(B)错！

1n

(C) 若xn ，yn ( 1)，选项(C)错！

n

(D) 因为

1

limyn lim(xnyn) 0 n n xn

选项(D)正确！

【例1.7】下列极限正确的是（ ）

sinx1(A)lim 1. (B)limx sin 1.

x x xx

11sinx(C)limsin 1. (D)lim 1.

x xx xx

【注解】 该题与真题类似（重要！）

sinx11lim 0 limsin 0

x xx xx

sinxlim 0 x x

1sin

1 1。选项(B)正确！ limx sin lim

x xx 1

x

【例1.8】设xn a yn，且lim(yn xn) 0，

n

a为常数，则数列{xn}和{yn}（ ）

(A) 都收敛于a.

(B) 都收敛，但不一定收敛于a. (C) 可能收敛，也可能发散. (D) 都发散. 【注解】 因为xn

a yn，则

0 a xn yn xn

又因为

lim(yn xn) 0

n

所以 则

lim(a xn) 0

n

limxn lim[a (a xn)]

n

n

a lim(a xn)

n

a

limyn lim[xn (yn xn)]

n

n

limxn lim(yn xn)

n

n

a

应选择(A).

【例1.9】设xn

an yn，且lim(yn xn) 0，

n n

{xn}，{yn}和{an}均为数列，则liman（ ）

(A)存在且等于0. (B)存在但不一定等于0. (C)一定不存在. (D)不一定存在. 【注解】 因为

0 an xn yn xn

由lim(yn

n

xn) 0得

lim(an xn) 0

n

则 要么liman和limxn都存在；

n

n

要么liman和limxn都不存在.

n

n

因此应选择(D)

【例1.10】

12n

lim(2 2 2) n n n 1n n 2n n n

【注解】 这种n项之和的极限形式一般想到用两种方法之一来求解。一种是利用定积分定义；另一种是用两边夹定理来求！这里利用两边夹定理来求，至于利用定积分定义求极限方法，我们将在第三讲中讲解。

因为

12nlim(2 2 2) n n n 1n n 2n n n

n

k

lim 2

n

k 1n n k

本质是希望求出和，只有分母相同，才可便于求和。为此，进行如下放缩

kkk

2 2 2

n n nn n kn n 1

则

11n(n 1)nn(n 1)

k 222

n n nk 1n n kn n 1

而

11

1 n(n 1)11lim2 lim

n n n n1122n

1 nn11

1 n(n 1)11lim2 lim

n n n 11122n

1 2

nn

由两边夹定理得

12n1

lim(2 2 2) n n n 1n n 2n n n2

arctanx sinx

. 【例1.11】lim3x 0x

【注解】 本题是型极限。不能用等价无穷小量替

换，原则上用罗比达法则。

arctanx sinx

lim3x 0x

1

cosx2

lim2

x 03x

1 (1 x)cosx1

lim 22x 03x1 x2

2xcosx (1 x)sinx1

lim lim2x 0x 01 x6x

2cosx 2xsinx 2xsinx (1 x2)cosx

lim

x 061

6

或

2

2

2xcosx (1 x)sinx

lim

x 06x 2xcosx(1 x2)sinx

lim lim

x 0x 06x6x

2

2(1 x)x lim

6x 06x211

666

4x x 1 x 1

【例1.12】求极限lim. 2x

x cosx

【解】 本题是型极限。不能用罗比达法则求！

2

利用恒等变形的方法：分子分母同除以

x2

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