高中数学学习必备的初中知识技能(4.不等式)

高中数学学习必备的初中知识

第四讲 不 等 式

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．

一、一元二次不等式及其解法

1．形如ax2 bx c 0(或 0) (其中a 0)的不等式称为关于x的一元二次不等式．

【例1】解不等式x x 6 0．

分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．

解：原不等式可以化为：(x 3)(x 2) 0，

2

于是：

x 3 0 x 3 0 x 3 x 3

或 或 x 3或x 2

x 2 0 x 2 0 x 2 x 2

所以，原不等式的解是x 3或x 2．

说明：当把一元二次不等式化为ax2 bx c 0(或 0)的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．

【例2】解下列不等式：

(1) (x 2)(x 3) 6

2

(2) (x 1)(x 2) (x 2)(2x 1)

分析：要先将不等式化为ax bx c 0(或 0)的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：x x 12 0，即(x 3)(x 4) 0

2

于是：

x 3 0 x 3 0

或 3 x 4

x 4 0 x 4 0

2

所以原不等式的解是 3 x 4．

(2) 原不等式可化为： x 4x 0，即x2 4x 0 x(x 4) 0 于是：

x 0 x 0

或 x 0或x 4

x 4 0 x 4 0

所以原不等式的解是x 0或x 4．

2

2

2．一元二次不等式ax bx c 0(或 0)与二次函数y ax bx c (a 0)及一元二次方程ax bx c 0的关系(简称：三个二次)．

2

高中数学学习必备的初中知识

以二次函数y x2 x 6为例：

(1) 作出图象；

(2) 根据图象容易看到，图象与x轴的交点是

( 3,0),(2,0)，即当x 3或2时，y 0．就是说对应的

一元二次方程x x 6 0的两实根是x 3或2．

(3) 当x 3或x 2时，y 0，对应图像位于x轴的上方．就是说x x 6 0的解是x 3或x 2．

2

当 3 x 2时，y 0，对应图像位于x轴的下方．就是说x x 6 0的解

22

是 3 x 2．

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式 0来判断) ．

那么(图1)：

ax2

bx c 0 (a 0) x x1

或x x2

ax2 bx c 0 (a 0) x x x

②如果图象与x轴只有一个交点( 数根xx x2

b

,0)，此时对应的一元二次方程有两个相等的实2a

b

(也可由根的判别式 0来判断) ． 2a

b2

那么(图2)： ax bx c 0 (a 0) x

2a

ax bx无解 c 0 (a 0)

2

③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式

0来判断) ．

高中数学学习必备的初中知识

2

那么(图3)： ax bx c 0 (a 0) 取一切实数 x

2

ax无解 bx c 0 (a 0)

如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：

(1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“ 0”型的解为x x1或x x2(俗称两根之外)；“ 0”型的解为x1 x x2(俗称两根之间)；

b24ac b2

) (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成ax bx c a(x ，结合2a4a

2

完全平方式为非负数的性质求解．

【例3】解下列不等式：

(1) x 2x 8 0

2

(2) x 4x 4 0

2

(3) x x 2 0

2

解：(1) 不等式可化为(x 2)(x 4) 0 (2) 不等式可化为(x 2)2 0 (3) 不等式可化为(x )

∴ 不等式的解是 2 x 4

∴ 不等式的解是x 2

12

2

7

0． 4

2

【例4】已知对于任意实数x，kx 2x k恒为正数，求实数k的取值范围． 解：显然k 0不合题意，于是：

k 0 k 0 k 0

k 1 2 22

( 2) 4k 0 k 1 0 k 1或k 1

22

【例5】已知关于x的不等式kx (k 1)x 3 0的解为 1 k 3，求k的值．

分析：对应的一元二次方程的根是 1和3，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．

k 0

k2 1

解：由题意得： 1 3 k 1

k

3

( 1) 3 k

说明：本例也可以根据方程有两根 1和3，用代入法得：k( 1) (k 1)( 1) 3 0，

2

2

k 32 3(k2 1) 3 0，且注意k 0，从而k 1．

高中数学学习必备的初中知识

二、简单分式不等式的解法

【例6】解下列不等式：

(1)

2x 3

0 x 1

(2)

x 3

0 2

x x 1

分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．

(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：

33

2x 3 0 2x 3 0 x 3 x

或 或 1 x 22

x 1 0x 1 02 x 1 x 1

3

． 2

解法(二)

原不等式可化为：(2x 3)(x 1) 0 1 x (2) ∵ x x 1 (x )

2

123

0

24

原不等式可化为：x 3 0 x 3

1

3 【例7】解不等式

x 2

解：原不等式可化为：

(3x 5)(x 2) 01 3x 53x 55

3 0 0 0 x 2或x x 2x 2x 23 x 2 0

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

x 2 x 2

x 2 0 x 2 015 3 或 或 x 或x 25 5x 23x 3(x 2) 1 3(x 2) 1 x

3 3 三、含有字母系数的一元二次不等式

一元一次不等式最终可以化为ax b (a 0)的形式．

【例8】求关于x的不等式mx 2 2mx m的解． 解：原不等式可化为：m(m 2)x m 2

2

高中数学学习必备的初中知识

(1) 当m 2 0即m 2时，mx 1，不等式的解为x (2) 当m 2 0即m 2时，mx 1．

① 0 m 2时，不等式的解为x ② m 0时，不等式的解为x

1； m

1； m

1； m

③ m 0时，不等式的解为全体实数．

(3) 当m 2 0即m 2时，不等式无解．

综上所述：当m 0或m 2时，不等式的解为x 为x

1

；当0 m 2时，不等式的解m

1

；当m 0时，不等式的解为全体实数；当m 2时，不等式无解． m

12

【例9】已知关于x的不等式k kx x 2的解为x ，求实数k的值．

2

b

分析：将不等式整理成ax b的形式，可以考虑只有当a 0时，才有形如x 的解，

a

b1从而令 ．

a2

解：原不等式可化为：( k 1)x k2 2． …… 此处隐藏：2141字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……