2019高中数学 第一章 1.3.3 全称命题与特称命题的否定作业 北师

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1 1.3.3 全称命题与特称命题的否定

[基础达标]

1.已知命题p ：任意x∈N ，2x ＋1∈N ，则p 的否定为( )

A ．任意x ∈N ，2x ＋1?N

B ．存在x ∈N ，2x ＋1?N

C ．存在x ∈N ，2x ＋1∈N

D ．存在x ?N ，2x ＋1∈N

解析：选B.p 为全称命题，其否定为：存在x ∈N ，2x ＋1?N .

2.命题“存在x∈R ，x 2－x ＜0”的否定是( )

A ．存在x ∈R ，x 2－x ≥0

B ．存在x ∈R ，x 2－2x ＞0

C ．任意x ∈R ，x 2－x ≥0

D ．任意x ∈R ，x 2－x ＜0

解析：选C.命题“存在x ∈R ，x 2－x ＜0的否定是：任意x ∈R ，x 2－x ≥0”．

3.命题“原函数与反函数的图像关于y ＝x 对称”的否定是( )

A ．原函数与反函数的图像关于y ＝－x 对称

B ．原函数不与反函数的图像关于y ＝x 对称

C ．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y ＝x 对称

D ．存在原函数与反函数的图像关于y ＝x 对称

解析：选C.命题“任意x ∈M，p (x )”的否定是“存在x ∈M，非p (x )”．

4.对下列命题的否定说法错误的是( )

A ．p ：能被3整除的整数是奇数；非p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数

B ．p ：每一个四边形的四个顶点共圆；非p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆

C ．p ：有的三角形为正三角形；非p ：所有的三角形都不是正三角形

D ．p ：存在x∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；非p ：当x 2＋2x ＋2＞0时，x ∈R

解析：选D.特称命题的否定为全称命题．

5.若命题“存在x∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )

A ．[－6，－2]

B ．[2，6]

C ．(2，6)

D ．(－6，－2)

解析：选B.由题知，任意x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0恒成立为真，∴Δ≤0可得m ∈[2，6]，选B.

6.命题“对任何x∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是________．

解析：这是一个全称命题，其否定为存在x ∈R ，使|x －2|＋|x －4|≤3成立．

答案：存在x ∈R ，使|x －2|＋|x －4|≤3成立

7.命题“存在x ，y ＜0，x 2＋y 2≥2xy ”的否定为________．

解析：这是一个特称命题，其否定为：对任意x ，y ＜0，都有x 2＋y 2＜2xy .

答案：对任意x ，y ＜0，x 2＋y 2＜2xy 恒成立

8.已知命题p ：存在x∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．

解析：p 为特称命题，又是假命题，故其否定：“对任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0恒成立”为真命题，故Δ＝

(2a )2－4a ＜0，解得a ∈(0，1)．

答案：(0，1)

9.写出下列全称命题或特称命题的否定．

(1)存在α0，β0∈Z ，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0；

(2)对任意的x ∈R ，都有x 2－x ＋14

≥0； (3)存在n ∈N ，2n ＞1 000；

(4)每条直线在y 轴上都有一个截距．

解：(1)特称命题的否定为：

对任意的α、β∈Z ，使sin(α＋β)≠sin α＋sin β.

(2)全称命题的否定为：

存在x ∈R ，使x 2－x ＋14

＜0.

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2 (3)特称命题的否定为：

对任意的n ∈N ，有2n ≤1 000.

(4)全称命题的否定为：

存在一条直线在y 轴上没有截距．

10.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图像都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

解：(1)是全称命题且为真命题．

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.

(2)是全称命题且为假命题．

命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．

(3)是特称命题且为真命题．

命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．

[能力提升]

1.若“任意x ∈[0，π2

]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ＜1 B ．m ≤1

C ．m ≤2

D ．1≤m ≤2

解析：选C.令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2

]， 可知f (x )在[0，π6]上为增函数，在(π6，π2

]上为减函数， 由于f (0)＝3，f (π6)＝2，f (π2

)＝1， 所以1≤f (x )≤2，

由于“任意x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则其否定“存在x ∈[0，π2

]，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，所以m ≤f (x )max ＝2.

2.若“存在x ∈[0，π2

]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则实数m 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2

]， 可知f (x )在[0，π6]上为增函数，在(π6，π2

]上为减函数， 由于f (0)＝3，f (π6)＝2，f(π2

)＝1，所以1≤f(x)≤2， 由于“存在x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则其否定“对任意x ∈[0，π2

]，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，所以m ≤f (x )min ＝1.

答案：(－∞，1]

3.命题“任意x ∈{x |x ≥1}，x 2＋x ＋m ≥0”是假命题，求实数m 的取值范围．

解：若原命题是真命题，

即对于任意x ∈{x |x ≥1}，x 2＋x ＋m≥0恒成立，

令f (x )＝x 2＋x ＋m ，则f (1)≥0，即2＋m ≥0，解得m ≥－2.

要使原命题是假命题，则实数m 的取值范围是m ＜－2.

4．已知两个命题：r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅

有一个为真命题，求实数m 的取值范围．

解：∵sin x ＋cos x ＝2sin ?

????x ＋π4≥－2， ∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.

又∵对任意x ∈R ，s (x )是真命题时，

- 即x2＋mx＋1＞0恒成立，

有Δ＝m2－4＜0，

∴－2＜m＜2.

∴当r(x)为真命题，s(x)为假命题时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；

当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－2，且－2＜m＜2，即－2≤m＜2.

综上，m的取值范围是{m|m≤－2或－2≤m＜2}．

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