构建新数列巧解递推数列

构建新数列巧解递推数列

[本节重点]：构建新数列思想方法解决一些递推数列中的问题

[典例练讲]

1.求通项：通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想

例1、数列 an 中，a1 1，an 1

11 4an 24an。求an 16

2.证明不等式：一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式

2 an 1 1例2、设a0 1，an

an 1 n N ，求证：an 2n 2

3.证明是整数: 这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决

例3、设数列 an 满足a1 1，an 1

11 (n N) an 2an

4.解决整除问题: 一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明 例4、设数列 an 满足a1 1，a2 3，对一切n N，有an 2 n 3 an 1 n 2 an，求所有被11整除的an的一切n值

5.证明是完全平方数: 这类题初看难以入手，但能通过构建新数列求出通项

例5、设数列 an 和 bn 满足a0 1，b0 0，且 an，问题也就迎刃而解了

an 1 7an 6bn 3① n 0,1,2, 求证：an是完全平方数。 bn 1 8an 7bn 4②

6.实战演习：

例6、n2(n 4)个正数排成n行n列，

a11

a21

a31

a41

an1a12a22a32a42an2a13a23a33a43an3a14a24a34a44an4 a1n a2n a3n a4n ann ……

其中每一行数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都有相等，已知

13，求S a11 a22 a33 ann。（1990年全国高中数学联赛） a24 1,a42 ,a43 816

例7、平面上有2009个圆，其中任意两个圆相交于两点，任意三个圆都不共点，试问这2009个圆把平面分成多少个部分？

思考：试问n条直线最多能将平面分成多少部分？又n个平面最多将空间分成多少个部分？