3.圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理

圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理

学习目标：会证明和应用以下定理： （1）圆周角定理；

（2）圆内接四边形的性质定理与判定定理。

【知识梳理】

1．圆周角定理

(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______．

(2)圆心角定理 圆心角的度数等于_________________． 推论1 同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______．

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是______．

2．圆内接四边形的性质与判定定理

(1)性质

定理1 圆的内接四边形的对角______．

定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的______． (2)判定

判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______．

推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_____．

【基本技能】

1.下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的

两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，

B 30 , APD 50

，则 A

A.10 B.20

C.

40 D.80

C

3.已知半径为5的⊙O中，弦AB ，弦AC 5，则

BAC A.15 B.210 C.105 或15 D.210 或30

4.如图五，在⊙O中，弦BC平行于半径OA,AC交OB于点M, C 20 ,则 AMB A.60 B.50 C.40 D.30

O

A

B

5.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧BP的中点A作AD BC于D.连接BP交AD于点E,交AC于点F,则

BE:EF A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.以上结论都不对 D

【典例精讲】

考点一、圆周角的计算与证明

圆周角是指顶点在圆周上且两边都与圆相交的角，它的度数等

于它所对弧的度数的一半或等于同弧所对圆心角的度数的一半，根据这个性质可以知道同一段弧可以对应无数个圆周角，

无论这些角的顶点在圆周上的什么位半置，这些角都相等．这样就可以把所求圆周角转化成求同弧所对的其他圆周角或求同弧所对的圆心角的一．

1.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°， 则

∠BCD＝______度．

2.(2009·广东卷)如图所示，点A、B、

C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB

＝45°，则圆O的面积等于________．

3.如图所示，AB是半圆的直径，弦AD、BC相交于P，已知∠

DPB＝60°，D是弧BC的中点，则tan∠ADC＝________.

4.已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，

那么∠BOC＝________，∠BIC＝________.

考点二、四点共圆

证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段

张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一

条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．

5.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，

DE AB,DF AC,E,F为垂足.

求证：E、B、C、F四点共圆.

B

C

6.如图，已知 ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，

B=60

，F在AC上，且AE AF。

（1）证明：B,D,H,E四点共圆； （2）证明：CE平分

DEF。

【能力提升】

1.图所示，已知AB为⊙O的直径，AC于点D,BC=4cm,

(1)试判断OD与AC的关系； (2)求OD的长；

(3)若2sinA 1 0，求⊙O的直径

2.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径， ACB 2 BAC

CE AD交AD于点F,交AB于点E,求证：AC2 AB AE

5.如图，D，E分别为 ABC的边AB，AC上的点，且不与 ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根． （I）证明：C，B，D，E四点共圆；

（II）若 A 90 ，且m 4,n 6,求C，B，D，E所在圆

的半径．

3.如图所示，已知AD是 ABC