2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答

2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知集合A {a|a 5x 3,x N },B {b|b 7y 2,y N },则A B中的最小的元素是 ( ▲ )

A．17 B．19 C．21 D．23

【答案】D

【解析】代入检验或者依次取值.

2．已知角 的终边与 的终边相同，则在 0,2 内与的终边相同的角有 ( ▲ )个 33

C．3 D．4 A．1 B．2

【答案】C 【解析】 7 13 ,,999

3

．已知f(x) x m, 当x [0,9]时, f(x) 4恒成立, 则实数m的取值范围

是 ( ▲ )

A．[ 1,0] B．( , 1] C．( ,1] D．[0,1]

【答案】C

g(t) t2 2t m，gmax g(3) 3 m 4 4．若a (cos ,sin )，b (cos ,sin )，0 ，ka b a kb(k 0)， 【解析】t

则 的值为 ( ▲ )

A． B． C． 234 D． 6

【答案】A 【解析】由ka b a kb(k 0)两边平方展开得到cos( ) 0

1 sinx cosx1 sinx cosx 的最小正周期是 ( ▲ ) 1 sinx cosx1 sinx cosx

3 A． B． C． D．2 225.函数y

【答案】D 2(sinx 1) sinx

atanB2a c 6．

ABC中， 1,，则角A为 ( ▲ ) ctanCc【解析】y

A． B． C． D． 6432

【答案】B tanB2a c1 得cosB ,B

，再由sinA 1)sinC得A tanCc234

7．在平行四边形ABCD中， CAB DBC 2 DBA，则sin CAB的值为 ( ▲ )

113A． B． C

． D． 324【解析】由

【答案】B

2【解析】记 DBA ，O为对角线交点， CAB CBO得到BC CO CA 12CA 2

sin3 AC

，整理得到cos sin2 BC 8．已知O，A，B是平面上的三点，向量OA a,OB b，设点P是线段AB垂直平分线上的任意一点，向量OP p，若 a 3,b 2，则p (a b)的值为 ( ▲ ) 在

ABC中，由正弦定理得到

A．5 B．3 2C．7 D． 4 2

【答案】A

1 1 2 2CP p (a b),BA a b，【解析】设AB中垂线与AB交于点C，连OC，由CP与BA垂直得到p (a b)=(a b) 22

9．设x y z

8,x y z

2，则cosx siny cosz的最小值为( ▲ )

A．11 B

． C． D

．84【答案】C 1111cosx sin(y z) sin(y z) cosxsin(y z) cos2x 842224

2210．当x [0,1]时，不等式xcos x(1 x) (1 x)sin 0恒成立，则 的取值范围是( ▲ )

11 5 2k ,k Z B．2k 2k ,k Z A．2k 121266

5 2k ,k Z C．2k D．2k 2k ,k Z 121263【解析】 x ，cosx siny cosz

【答案】C

【解析】记f(x) x2cos x(1 x) (1 x)2sin ，则

f(0) sin 0,f(1) cos

1f(x) x))2 2( x(1 x)，

2

1 5 2k ,k Z. 即 0，解得2k 21212

二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.

11．函数f(x) |x 2| |x 1|的值域为 ▲ ．

【答案】[ 3,3]

12．sin13 sin47 sin13 sin47 = ▲ ． 【答案】223 4

【解析】构造三角形，内角分别为13 ,47 ,120 ，结合余弦定理即可

13．过 ABC的重心G的直线分别交直线AB、AC于点P、Q，若 , k，则k的值是 ▲ ． 2 5 1 【解析】由AG (AB AC)，设PG PQ，则 3 52AG AP PG 2AB PQ (2 2 )AB kAC，于是 ,k 65【答案】

或者取正三角形即可。

14．记A logsin1cos1,B logsin1tan1,C logcos1sin1,D logcos1tan1

则A，B，C，D四个数中最大数与最小数之和为 ▲ ．

【答案】1

【解析】最大数为A，最小数为B

15．已知函数f(x)在定义域(0, )上是单调函数，且f(x) 1。若对任意x (0, )，都有f(f(x) x2) 2，则f(2)的值为 ▲ ．

【答案】5

222【解析】由题意设f(x) x k(k为常数)，则f(x) x k，即f(k) k k 2，得k 1或k 2（舍），即

f(x) x2 1

216．[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lgx [lgx] 2的解集为．

1【答案】{100, 10

2【解析】先由[x] x，则lgx lgx 2 0，则 1 lgx 2，讨论当[lgx] 1,0,1,2时方程的解.

17．一个数学魔术中，魔术师先请一个人随意想一个三位数abc（其中a,b,c依次为这个数字的各个数位上的十进制数字），并请此人想出另5个数acb,bac,bca,cab,cba，并求出这5个数的和S，将和S告诉魔术师，于是魔术师就说出了这个人所想的数abc.现在假设S 2013 ，请你来做魔术师，三位数abc 为 ▲ ．

【答案】651 【解析】S abc 222(a b c)，要寻找222的整数倍即222k，

由2013 222 9 1998，2013 1000 222 14 3018，于是k 10,11,12,13

经检验，只有k=12，即12 222 2013 651，且6 5 1 12可以符合题意.

三、解答题：本大题共3小题，共51分．

18．（本题满分16分）已知函数f(x) sin x sin( x

（Ⅰ）若x 3)

6是函数f(x)的一个零点，2 12，求f(x)的最大值以及此时x的取值集合；

上是单调函数，求 的取值范围. 2

解：

（Ⅰ）f(x) x )，f() 0得到 6k 1,k Z，则 7

66

2 2k ,k Z}——8分 即f(x) x

)，fmax {x|x 6217

4 ，得到0 -----------16分 （Ⅱ）- x 662623 22 19．（本题满分17分）已知非零向量a和b，函数f(x) ax 2(a b)x 1 （Ⅰ）若方程f(x) 0有两个相等的实根，|b| 2，求向量a和b夹角； 2 （Ⅱ）若|a| |b|，函数f(x)在[ 2, 1]上的最小值为 b 1，求实数 的取值范围以及此时向量a和b夹角的余弦（Ⅱ）若 0，函数f(x)在区间 0,值.

1 2 解：（Ⅰ）设向量a和b夹角为 ，由 0得到cos ，于是向量a和b夹角为或 233

——7分 （Ⅱ）对称轴为x cos

24 1 2时，即cos 2 时，fmin f( 2) b 1解得cos 2 ，不合题意 当 4 2cos cos 1时，即 cos 2 时，fmin f( ) b 1解得 cos2 ，不合题意 当 2 cos

2 1 1时，即cos 时，fmin f( 1) b 1解得cos 当 2

1 1 1得到0 3，此时cos 由 1 cos 22

1综上，0 3，此时cos ----------17分 2

|x u|20．（本题满分18分）已知函数f(x) 3，g(x) x|x u| 6u 21 cos

2（Ⅰ）当u 4时，关于x的方程(g(x)) mg(x) 7 0有3个不同的实根，求实数m的值；

（Ⅱ）若对任意的s ( ,3]，总存在t [3, )，使得f(s) g(t)成立，求实数u的取值范围.

解：（Ⅰ）设t g(x)，t mt 7 0，作出函数t g(x)的图象 2

167，另一个t 可以符合题意 33

当t 7时，求出m 8，另一个t 1可以符合题意

当

0时，m

t 不合题意 16综上，m 或者m 8 ——8分 3

（Ⅱ）设函数f(x),g(x)的值域分别为F,G，根据题意有F G

当u 3时，F [1, )，gmin g(3) 3u 12 0，可以符合题意 当t 3时，求出m u 3当u 3时，F …… 此处隐藏：1783字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……