数学物理方程试题1

数学物理方程考点

一.

分离变量法：知识点见课本P16 P18

1.已知初边值问题：

u a2u 0,0 x l,t 0

xx

tt

ux 0 uxx l 0

x u 0,u sint 0tt 0

2l

（1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）；

（2） 求此初边值问题的解。

解：（1）令 u(x,t) X(x)T(t) （1.1），其中u(x,t)不恒零，将其代入方程得到： X(x)T''(t) a2X''(x)T(t) 0

T''(t)X''(x)将该式分离变量并令比值为 有： 2 则有：

aT(t)X(x)

T''(t) a2T(t) 0 （1.2） X''(x) X(x) 0 （1.3）

由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件

X(0) 0,X'(l) 0 （1.4）

(I)当 0时，方程（1.3）的通解为

X(x) C1 C1 C2 0

件（1.4）知：

C C

C2e，由边界条

C 0

1 0 C2 0

X(x) 0 由（1.1）知：u(x,t) 0， 0应舍去；

(II)当 0时，方程（1.3）的通解为 X(x) C1 C2x，由边界条件（1.4）

知：

C 0

1 同理 0应舍去；

C2 0

(III)当 >0时，则方程的通解为：

X(x) C1 C2

由边界条件X(0) 0知：C1 0 即

X(x) C2

又由X'(l) 0

知：C 0 ， 令C2

0，则 0

即

(2n 1)

n ，所以固有值为 n ,n 0,1, 2

2l

(2n 1)

x,2l

2

将其代入通解中，得到固有函数：Xn(x)

Cnsin

n 0,1,

（２）将固有值 n代入方程（1.2），可得到此方程的通解：

(2n 1) a(2n 1) a

t

Bnsint,n 0,1, 2l2l

则原初边值问题的形式解为 ：

(2n 1) a(2n 1) a(2n 1)

un(x,t) Xn(x)Tn(t) (ancost

bnsint)sinx,n 0,1,

2l2l2l

则：

Tn(t) Ancos

u(x,t) (ancos

n 0

(2n 1) a(2n 1) a(2n 1)

t bnsint)sinx,n

0,1,2l2l2l

t 0

由初始条件 u

0，ut

l

t 0

sin

x

2l

知： an 0

2l

n 04(n2 1x) x

bn n 1a)sin (2

(2n 1a) 0l2l2

n 1,2 0

原初边值问题的解为： u(x,t)

2l a xsintsin

(2n 1) a2l2l

二.

特殊方程的边界齐次化：知识点见P21 P22

2.已知初边值问题：

utt a2uxx 0,0 x l,t 0

ux 0 A,ux l B

ut 0 0,utt 0 0将此定解问题的边界齐次化。

解：令 u(x,t) v(x,t) w(x) （1），则utt vtt，uxx vxx w''，故原初边值问题等价于

vtt a2vxx a2w'' x

vx 0 A w(0),vx l B w(l)

vt 0 w(x),vtt 0 0

（I）

将定解问题（I）边界齐次化，即令

a2w'' x 0

w(0) A w(l) B

x3B Al2

w(x) 2 ( 2)x A

6al6a

将w(x)代入（I），则可得到边界齐次化后的初边值问题为：

vtt a2vxx 0 x3B Al2

2)x A, vt 0 2 (

6al6a

v v 0

x l x 0

vt

t 0

0

（II）

然后用分离变量法求初边值问题（II）得到v(x,t)，将其代入（1）式即可求出

u(x,t)。

三.

能量不等式证明解的唯一性：知识点见P94 P95

3.证明方程utt a2uxx cut f的初边值问题解的唯一性。 四、格林函数：

6.写出格林函数公式及满足的条件，并解释其物理意义。 解：（1）格林函数公式（三维）为：

G（M，M0）=

1

— g（M，M0） M

4 rMM0

其中函数g满足的条件为：

M g 0

1

g| 4 r

MM0

式中 为区域 的边界曲面

（2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面 内M0点处放一个单位正电荷，

1则有它在该导电曲面内一点M处产生的电势为（不考虑电介常数），

4rMM0

将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理论，则M0将在该导电曲面上产生负感应电荷，其在M处的电势

— g（M，M0），并且导电面上的电势恒等于0，即有g| =一.填空

1

1. 函数（U0 ln(r 0)）称为二维拉普拉斯方程uxx uyy 0的基本解。

r

1

4 rMM0

u 0,(x,y,z)

2.利用调和函数的（p93,极值）原理，容易证明狄利克雷问题

u| f(x,y,z)解的唯一性。

3.利用静电源镜像法容易求得上半空间z 0的格林函数为G(M,M0) （

11

），其中M0(x0,y0,z0)为上半空间z 0的点，M1(x0,y0, z0)为

4 rMM04 rMM1

M0关于平面z 0的对称点。

utt a2uxx,(0 x l,t 0),

u(0,t) 0,ux(l,t) 0,

二. 求解问题 3 x5 x

u(x,0) 3sin2l 6sin2l,

ut(x,0) 0.

答(p56习题二，1（3）)：用分离变量法.()

(2n 1) 2(2n 1) x

),Xn(x) sin. 特征值和特征函数分别为 n (

2l2l

3 at3 x5 at5 x

sin 6cossin. 结果为u(x,t) 3cos2l2l2l2l

ut a2uxx A,(0 x l,t 0,A为常数),

u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),三、 用固有函数法求解

u(x,0) 0,(0 x l).

n x

， 答（p58习题二10(3)）:固有函数系为{sinl

(先考律齐次方程，在考虑非其次方程)

A22Al2

结果为u(x,t) 2(x lx) 23

2aa ( 1)n 1 (

3

nn 1

n at2

)tl

sin

n x

. l

ut a2uxx,( x ,t 0),

五. (10分)用积分变换法求解问题 （已知傅氏逆

u(x,0) cosx.

变换F 1[e a t]

22

e

x24a2t

。 .）

答（p85习题三9,类似p74例1）：

F[u(x,t)] U( ,t),F[cosx] ( ).

dU( ,t)

a2 2U( ,t)

, dt

U( ,0) ( ).

U( ,t)

( )e a t.u(x,t) cosx x24at

22

cos e

(x )24at

d cosxe

a2t

.

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

utt a2uxx f(x,t)(x R,t 0)

无限长弦的一般强迫振动定解问题 ut 0 (x)

utt 0 (x)

11.x at1t x a(t )

x at x at d f( , )d d 解u(x,t) 22a.x at2a0 x a(t )

三维空间的自由振动的波动方程定解问题

2

2u 2 2u 2 u

2 a 2 2 2 , x,y,z ,t 0 y z x t

ut 0 0(x,y,z)

u t 0 1(x,y,z) t

x rsin cos

在球坐标变换 y rsin sin

z rcos

(0 r ,0 2 ,0 )

1 (M ) 1

u(M,t) dS

4 a t SMr4 a2 at

SrM

(M )

r

dS (r=at)

1 (M ) 1

u(M,t) dS 4 a2 t St4 a2M at 松公式

MSat

(M )

t

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