第四章 控制系统的频率特性

第四章 控制系统的频率特性4.1 机电系统频率特性的概念 4.2 极坐标图(Nyquist图) 极坐标图( 图 4.3 对数坐标图(Bode图) 对数坐标图( 图 4.4 由频率特性曲线求系统传递函数 4.5 由单位脉冲响应求系统的频率特性 4.6 控制系统的闭环频响 原4.7) 控制系统的闭环频响(原 4.7 综合例题

频域法是一种工程上广为采用的分析和综 合系统间接方法。另外， 合系统间接方法。另外，除了电路与频率特性 有着密切关系外， 有着密切关系外，在机械工程中机械振动与频 率特性也有着密切的关系。 率特性也有着密切的关系。机械受到一定频率 作用力时产生强迫振动， 作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起 自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密 自激振动。 机械振动学中的共振频率、 动刚度、 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机 械系统在频率域中表现的特性。 械系统在频率域中表现的特性。频域法能简便 而清晰地建立这些概念。 而清晰地建立这些概念。

4.1 机电系统频率特性的概念4.1.1 频率特性概述我们知道，对于图4 所示的电路网络， 我们知道 ， 对于图 4-1 所示的电路网络 ， 当输入正弦信号 输出稳定后也是正弦信号， 时，输出稳定后也是正弦信号，其输出正弦信号的频率与输入 正弦信号的频率相同；输出的幅值小于输入的幅值； 正弦信号的频率相同；输出的幅值小于输入的幅值；输出相位 滞后于输入相位。并且，当输入信号的幅值不变而频率变化时， 滞后于输入相位。并且，当输入信号的幅值不变而频率变化时， 输出幅值和相位随着输入正弦信号的频率变化而变化。 输出幅值和相位随着输入正弦信号的频率变化而变化。

图4-1 电路网络正弦输入的稳态响应

对于一般线性系统均有类似的性质。 对于一般线性系统均有类似的性质。系统对正弦输入的稳态 响应称为频率响应。当输入正弦信号时， 响应称为频率响应。当输入正弦信号时，线性系统输出稳定后也 是正弦信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同； 是正弦信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同； 输出幅值和输出相位按照系统传递函数的不同随着输入正弦信号 频率的变化而有规律的变化，如下图所示。 频率的变化而有规律的变化，如下图所示。

4.1.2 频率特性的数学推导设线性定常系统输入信号为r(t),输出信号c(t) 如图4 c(t), 设线性定常系统输入信号为r(t),输出信号c(t),如图4r(t) 所示。 3所示。 图中，G(s)为系统的传递函数 为系统的传递函数。 图中，G(s)为系统的传递函数。

即C(s) b0 s + b1s + + bm 1s +

bm G(s) = = n R(s) s + a1sn 1 + + an 1s + anm m 1 1

图4-3 线性定常系统

(n≥m) (4-1)

若在系统输入端作用一正弦信号， 若在系统输入端作用一正弦信号，即 r(t)=Rsinωt

ω R(s) = R 2 s +ω2

(4-2)

系统输出C(s)为

C(s) = G(s)R(s)

(4-3)

设传递函数G(s)可表示成极点形式

M(s) b0 sm + b1s m 1 + + bm 1s + bm G(s) = = n N(s) s + a1s n 1 + + an 1s + an M(s) = n ∏(s + pi )i=1

(4-4)

-p1、-p2 … -pn为G(s)的极点，其可以为实数，也可为复 数，并且假定其均在根平面的左半平面，即系统是稳定的。

C(s) =

M(S)

∏(s + p )i=1 i

n

Rω 2 s + ω2

n ci a1 a2 = + +∑ s + jω s jω i=1 s + pi

(4-5)

Rω R a1 = lim (s + jω)G(s) 2 = G( jω) 2 s→ jω 2j s +ωRω R a2 = lim (s jω)G(s) 2 = G( jω) 2 s→jω 2j s +ω

Rω ci = lim (s + pi )G(s) 2 2 s→ pi s +ω由拉普拉斯反变换得输出响应

c(t) = a1e

jωt

+ a2e

jωt

+ ∑ci ei=1

n

pi t

ci 对于稳定系统，当t→∞时，e p t(i=1,2,…,n) 均随时间衰减至零。此时系统响应的稳态值为:i

css (t) = a1e

jω t

+ a2e

jω t

(4-6)

a1 和 a2 为共轭复数，可表示为R R a1 = G( jω) = G( jω) e j∠G( jω) 2j 2j R R a2 = G( jω) = G( jω) e j∠G( jω) 2j 2j

则 R R j∠G( jω) jωt css (t) = G( jω) e e + G( jω) e j∠G( jω) e jωt 2j 2j e j[ωt+∠G( jω)] e j[ωt+∠G( jω)] = RG( jω) 2j

= RG( jω) sin[ ωt + ∠G( jω)]= Csin( ωt + )

(4-7)

式中 C = RG( jω) , = ∠G( jω)

式(4-7)表明，线性定常系统在正弦信号作 用下，系统的稳态输出将是与输入信号同频率的 正弦信号，仅仅是幅值和相位不同，幅值为式中 RG( jω) ,相位∠G( jω),均是频率ω的函数。 定义 线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出 的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特 性，记为G(jω) Css C( jω) G( jω) = = (4-8) R( jω) R 其中稳态输出与输入的幅值之比称为系统的

幅频特性，记为A(ω),即

C A(ω) = = G( jω) R

(4-9)

稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性 ，记为 (ω),即 (ω)=∠G(jω) (ω)= G(jω) (4-10) 频率特性还可表示为 G(jω)=p(ω)+jθ(ω) 式中 p(ω)——为G(jω)的实部，称为实频特性； θ(ω)——为G(jω)的虚部，称为虚频特性。

显然有

θ (ω) = A(ω)sin (ω) 2 2 A(ω) = p (ω) +θ (ω) θ (ω) (ω) = arctg p(ω)

p(ω) = A(ω) cos (ω)

(4-11)

需要指出，当输入为非正弦的周期信号时， 其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加， 其输出为相应的正弦波的叠加。此时系统频率特 性定义为系统输出量的傅氏变换与输入量的傅氏 变换之比。

4.1.3 频率特性函数求取

方法频率特性函数可用以下方法求取： (1)如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正 弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输出变量 的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统的频率特 性函数。 (2)如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数 中的S代之以jω ,即得到系统的频率特性函数。 jω G(jω)=G(s) (4-12)s= jω

(3)也可以通过实验的手段求取。

例：如下图所示系统，其传递函数为 如下图所示系统，1 Cs = 1 G(s) = 1 RCs +1 R+ Cs

将s代之以jω,即得到系统的频率特性函数为 代之以jω, jω

1 G( jω) = jωRC +1

ui (t)

R

uo (t )C

K 例 ： 试求 G( jω) = 的幅频特 性和相频特性。 性和相频特性。jω(T1 jω +1)(T2 jω +1) 解： 1 1 1 G( jω) = K jω T jω +1 T2 jω +1 1 e π j 2

= K = 所 以

1

ω

K

1

(T1ω)2 +12

e

j ( arctanT ω) 1

1

(T2ω)2 +1

e j( arctanT2ω)

ω (Tω) +1 (T2ω) +1 12

e

π j arctanT ω arctanT2ω 1 2

ω (Tω)2 +1 (T2ω)2 +1 1 π (ω) = arctan Tω arctan T2ω 12

A(ω) =

K

4.2 频率特性的极坐标图 (乃奎斯特图，或乃氏图) 乃奎斯特图，或乃氏图)乃奎斯特( 乃奎斯特(H.Nyquist), , 1889~1976,美国Bell实 ，美国 实 验室著名科学家