D9.2偏导数与全微分

第二节 偏导数与全微分一、 偏导数概念及其计算 二 、偏导数的几何意义 三 、偏导数与连续的关系 四 、高阶偏导数 五 、全微分

第九章

一、 偏导数定义及其计算法

一元函数 :在x0点导数 :

y f ( x)

f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x

问题 : 对z f ( x, y)怎样定义导数 ?

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定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内 极限

x0 x

x

x0

存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为

f ; zx x ( x0 , y 0 )

( x0 , y 0 )

;

f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x ) f ( x ) d x f ( x y 0 0 lim f ( x0 ) x 0 x d x x x0高等数学目录 上页 下页 返回 结束3

f1 ( x0 , y0 ) .

同样可定义对 y 的偏导数

f y ( x0 , y0 ) lim

f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )

y 0

y

若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为

z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 y y高等数学目录 上页 下页 返回 结束4

偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为

x x

x

xf y ( x, y , z ) ?

f z ( x, y , z ) ?

(请自己写出)

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例1 . 求 z x 2 3xy y 2 在点 (1,2) 处的偏导数.

解：

z 2x 3 y ; xx 1 y 2

z 3x 2 y . y

z x z y高等数学

2 1 3 2 8 , 3 1 2 2 7 .

x 1 y 2

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例2 . 设 f ( x, y ) x cos(1 y ) ( y 1) sin2

求函数在点(1 , 1) 处的偏导数.

x 1 y

解:

f ( x,1) x 2

f x (1,1)

f (1, y) cos(1 y) f x (1, 1)高等数学目录 上页 下页 返回 结束7

例3. 设解:

求

z x y , , x y z

z y z x y, x

z x z 2 x , y y y

说明: 此例表明, 偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !

z x y z 1 z y ( 2 ) 1 x y z y x xy

?

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二、二元函数偏导数的几何意义 f xx x0 y y0

d f ( x, y 0 ) x x0 dx

zM0

z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.

Txy0

Ty

o x

y

x0

f y是曲线

x x0 y y0

d f ( x0 , y) y y0 dy

在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的目录 上页 下页 返回 结束9

斜率.高等数学

三、偏导数与连续的关系一元

函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， xy , x2 y2 0 2 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 , x y 0 0 显然

0 0在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!

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四、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数

z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:

z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x

2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y高等数学目录 上页 下页 返回 结束11

类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为

z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为

( y

z ) n 1 x y

n

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x 2y 的二阶偏导数. z e 例4. 求函数

解:

z e x 2y x z x 2y e 2 x2

z 2 e x 2y y 2z 2 e x 2y x y z x 2y 4 e y22

z x 2y 2 e y x

2

2z 2z , 注意:此处 x y y x高等数学目录 上页 下页 返回 结束13

例5.设

f ( x, y )

x2 y2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y

0,求

x2 y2 0

f xy (0,0) , f yx (0,0) .x4 4x2 y 2 y 4 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 4 2 2 4 x 4x y y 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0目录 上页 下页 返回 结束14

解：

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x4 4x2 y 2 y 4 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0

y f x (0, y ) f x (0, 0) f x y (0,0) lim 1 lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x f y x (0,0) lim 1 lim x 0 x x 0 x高等数学目录 上页 下页 返回 结束

二 者 不 等

定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则

f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.

(证明略)

例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有

说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.高等数学目录 上页 下页 返回 结束16