第二章 逻辑代数及其应用

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第二章 逻辑代数及其应用

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2.1 逻辑代数的基本公式和导出公式 基本概念 逻辑：事物的因果关系 逻辑： 逻辑运算的数学基础：逻辑代数 逻辑运算的数学基础： 在二值逻辑中的变量取值： 0/1 在二值逻辑中的变量取值：

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2.1.1 逻辑代数的三种基本运算

与 条件同时具备，结果发生 条件同时具备， Y=A AND B = A&B=A·B=AB A&B=A· A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1

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或 条件之一具备，结果发生 条件之一具备， Y= A OR B = A+B A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1

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非 条件不具备，结果发生 条件不具备， Y = A′ = NOT A

A 0 1

Y 1 0

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几种常用的复合逻辑运算 与非 或非 与或非

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异或 Y= A ⊕ B A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 0

Y = A ⊕ B = AB + AB

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同或 Y= A ⊙B A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 1 0 0 1 Y= A ⊙B

= A B + AB

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2.1.2 基本公式和若干导出公式基本公式序号 (1a) 1a) (2a) 2a) (3a) 3a) (4a) 4a) (5a) 5a) (6a) 6a) (7a) 7a) (8a) 8a) ( 9) 公 证明方法：真值表 式 序号 (1b) 1b) (2b) 2b) (3b) 3b) (4b) 4b) (5b) 5b) (7b) 7b) (8b) 8b) 公 式

0A=0 1A=A AA= A A A′= 0 AB =BA A (B C) = (A B) C A (B +C) = A B + A C (A B) ′ = A′ + B′ (A ′) ′ = A

1 + A= 1 0 +A=A A+A=A A + A′= 1 A +B = B + A A + B C = (A +B)(A +C) (A+ B) ′ = A′B′

(6b) A + (B +C) = (A + B) + C 6b)

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公式(7b)的证明： 公式(7b)的证明：

A+BC=(A+B)(A+C)

证明: 证明 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A

=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 左边 ; A 1=1

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公式(8a)的证明(真值表法): 公式(8a)的证明(真值表法): (A B) ′ = A′ + B′ A 0 0 1 1 B 0 1 0 1

A′1 1 0 0

B′1 0 1 0

( AB )′1 1 1 0

A′ + B′1 1 1 0

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常用的导出公式序号 (11a) 11a) (12a) 12a) (13a) 13a) (14a) 14a) 公 式

证明方法：推导， 真值表 序号 (11b) 11b) (12b) 12b) (13b) 13b) (14b) 14b) 公 式

A+AB =A A +A ′B = A + B A B + A B′= A A B + A′C + B C = A B + A′C A B + A′C + B CD = A B + A′C

A ( A + B) = A A (A′+ B) = A B ( A + B)(A + B′) = A (A + B) (A′+ C ) (B + C ) = (A + B) (A′+ C) (A + B) (A′+ C) (B + C + D)= (A + B) (A′+ C)

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1.原变量的吸收： A+AB=A 原变量的吸收： 原变量的吸收 证明： 证明： A+AB=A(1+B) =A 1=A

长中含短， 长中含短， 留下短。 留下短。

利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如： 例如：

AB + CD + ABD( E + F ) = AB + CD被吸收

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2.反变量的吸收： 反变量的吸收： 反变量的吸收 证明： 证明： A +

A+ A′B = A+ B长中含反， 长中含反， 去掉反。 去掉反。

A′B = A + AB + A′B

= A + B ( A + A′) = A + BA+ A′B=

( A+ A′)( A+ B) = A+ B例如： 例如： A + A ′ BC + DC = A + BC + DC 被吸收

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3.混合变量的吸收： AB + A′C + BC = AB + A′C 混合变量的吸收： 混合变量的吸收 证明： 证明： 1 AB + A′ C + BC = AB + A′ C + ( A + A′) BC= AB + A ′ C + ABC + A ′ BC = AB + A ′ C

正负相对， 正负相对， 余全完。 余全完。 吸收

例如： 例如：

AB + A ′ C + BCD = AB + A ′ C + BC + BCD = AB + A ′ C + BC = AB + A ′ C

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2.2 代入定理及其应用 代入定理 ------在任意一个包含变量 的等式中， ------在任意一个包含变量A的等式中，若用任何一个逻 在任意一个包含变量A 辑式代替等式中的A 则等式仍然成立。 辑式代替等式中的A,则等式仍然成立。