【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-2：第二章 推理

【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-2：第二章 推理与证明 单元同步测试

第二章测试

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若实数a，b满足b>a>0，且a＋b＝1，则下列四个数最大的是( )

A．a2＋b2 B．2ab 1

C.2 D．a 答案 A

2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y＝1x

a(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y＝(2是指数函数，所以y

x

1

＝(2)x在(0，＋∞)上是增函数．

该结论显然是错误的，其原因是( ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误

D．以上都可能

解析 大前提是：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．

答案 A

3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：

①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．

则说法中正确的个数有( )

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A．0 B．1 C．2 D．3

解析 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确． 答案 B

4．下面使用类比推理正确的是( )

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b” B．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)·c＝ac·bc” a＋babC．“(a＋b)·c＝ac＋bccc＋cc≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn” 解析 由类比出的结果应正确知选C. 答案 C

5．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ中应用了( )

A．分析法 B．综合法

C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 答案 B

ππ

6．已知f(x)＝sin(x＋1)33cos(x＋1)3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋ ＋f(2011)＝( )

A．3 B.3 C．－3 D．0

1π3ππ

解析 ∵f(x)＝2[2x＋1)32cos(x＋1)3]＝2sin3，∴周期T＝

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3333

6，且f(1)＋f(2)＋ ＋f(6)＝2(22＋022＋0)＝0，∴f(2011)π

＝f(6×335＋1)＝f(1)＝2sin33.

答案 B

111

7．用数学归纳法证明1＋23n(n∈N*，且n>1)，由

2－1n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数为( )

A．2k－1 B．2k＋1 C．2k－1 D．2k

11111

解析 当n＝k＋1时，左边＝12＋3 ＋＋2

2－12＋1＋

1

(2k＋1－1)－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k. k＋1

2－1答案 D

8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}( ) A．一定是等比数列 B．一定是等差数列

C．可能是等比数列也可能是等差数列 D．一定不是等比数列

解析 设等比数列{an}的公比为q，则 an＋an＋1＝an(1＋q)．

∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列； 当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列． 答案 C

11

9．如果a，b为非零实数，则不等式ab成立的充要条件是( ) A．a>b且ab<0 B．a<b且ab>0

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C．a>b，ab<0或ab>0 D．a2b－ab2<0

b－a1111

解析 ∵ab≠0，∴a>b a－b>0 ab>0 (b－a)ab>0 ab2－a2b>0 a2b－ab2<0.

答案 D

10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )

A．平行四边形的对角线相等 B．正方形的对角线相等 C．正方形是平行四边形 D．以上都不是

解析 大前提②，小前提③，结论①. 答案 B 11．观察下表：

1 2 3 4 第一行 2 3 4 5 第二行 3 4 5 6 第三行 4 5 6 7 第四行

第一列 第二列 第三列 第四列

根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( ) A．2n－1 C．n2－1 D．n2

解析 观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为

B．2n＋1

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1,3,5,7， ，2n－1.

答案 A

12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“ ”为：(a，b) (c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q∈R，若(1,2) (p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于( )

A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－4) 解析 由(1,2) (p，q)＝(5,0)，得

p－2q＝5， p＝1， 2p＋q＝0 q＝－2.

所以(1,2)⊕(p，q)＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)． 答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

a＋ba＋b

13．已知a>0，b>0，m＝lg2n＝lg2m，n的大小关系是________．

解析 ab>0ab>0 a＋b＋ab>a＋b (a＋b)2>(a＋b)2 a＋a＋baba＋b

a＋b>a＋b 222>lg2答案 m>n

14．在正三角形中，设它的内切圆的半径为r，容易求得正三角形的周长C(r)＝63r，面积S(r)＝33r2，发现S′(r)＝C(r)．这是平面几何中的一个重要发现．请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为________．

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解析 设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，利用等积变形易求得正四面体的高h＝4r.由棱长a，高h和底面三角形外接圆的半径

3 2

构成直角三角形，得a＝(4r)＋ ，解得a＝6r.于是正四面体的

3

2

2

11122

表面积S(r)＝4×2×(26r)×sin60°＝3r，体积V(r)3×2(26r)2×sin60°×4r＝83r3，所以V′(r)＝3r2＝S(r)．

答案 V′(r)＝S(r) 15．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10

照此规律，第n个等式为________________．

解析 分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式的左边为12－22

＋32－ ＋(－1)n－1n2.

当n为偶数时，分组求和(12－22)＋(32－42)＋ ＋[(n－1)2－n2]＝n n＋1 －[3＋7＋ ＋(2n－1)]2当n为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋ ＋[(n－1)2－n2]＋n2＝－n n－1 2n n＋1 2＋n＝2综上，第n个等式：12－22＋32－ ＋(－1)n－1n2＝ －1 n＋1

2n(n＋1)．

n＋1

－1

答案 12－22＋32－ ＋(－1)n－1n2＝2(n＋1)

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16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_________ …… 此处隐藏：4992字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……