江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座6

应用题归类分析及应对策略

一、试题特点

2011全国35套(不包括江苏)试卷的应用题中，只有考查湖北、湖南理考查了分段函数，湖南文考查了数列应用题，山东考查了函数与导数，上海浙江没有应用题（含概率），其余省市都是考查了概率与统计.

2010全国36套(不包括江苏)试卷的应用题中，只有陕西(理)、福建(文、理)考查了解三角形，其余省市都是考查了概率与统计.

2009全国36套(不包括江苏)试卷应用题中，只有湖北(文) 考查了基本不等式（函数），福建（理）、辽宁、宁夏考查了解三角形, 上海考查函数，其余都是概率与统计.

2011年－2003年江苏高考应用题类型：

2011 包装盒问题（几何背景：实则为几何问题代数化）

2010 测量问题：几何背景：解直角三角形与基本不等式 填空题14 函数与导数的应用

2009 利润问题：基本不等式 销售背景：

2008 几何最值（费马点）问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化） 2007 概率

2006 体积最值问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化） 2005 概率

2004 线性规划

2003 概率

数学应用题的发展趋势：越来越去生活化，数学化，实际建模的要求越来越低. 江苏高考的应用题，06（蒙古包体积问题）、08（费马点距离问题）、10（解三角形测量问题）、11（包装盒体积问题）年都是几何背景，只有09年是销售问题（买进与卖出）.其中08（费马点距离问题）、10（解三角形测量问题）、11（包装盒体积问题）题目给出自变量，06（蒙古包体积问题）、09（销售问题买进与卖出）需要学生自己变量. 数学应用性问题是江苏历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型.解答这类问题有一个宏观的解题程序表：

步骤1：将一个实际问题转化为一个数学问题，进行数学化设计.

步骤2：将一个数学问题化归为一个常规问题，进行标准化设计.

步骤3：求解常规数学问题或是解方程、或是证明(求解)不等式、或是函数求极值、或是几何求值、几何论证、或是解三角形等等.很多情况下，步骤之间没有明显的界线，是环环相扣、一气呵成.

但仅仅有这个表或者告诉学生这个解题程序，学生是不会解题的，因为能否很好得完成步骤1反映了学生的数学素养，能否很好得完成步骤2反映了学生的数学技能，数学技能可以通过一定的训练形成，但数学素养不是几节课或是几天课就能形成的，它需要长期的有意识的培养才能较好地形成.学生不能完成步骤1，那完成后面的步骤就无从谈起.因此我们在平常的教学中，应时刻关注学生素养的培养，同时还要把这个宏观的解题程序表细致化，使得应用题的解法具有较好的可操作性.

仔细分析江苏高考应用题，除去概率题目外，其它的题目不论是函数、不等式、线性规划、三角，还是几何问题，都有一个共同的特征，那就是变量. 函数与导数问题是单变元问题，线性规划是双变元问题，高中阶段的基本不等式问题是双变元问题，但由于两变元之间往往有一定的联系，所以其本质是单变元问题.因此要很好地解决应用性问题，心中首先应

有强烈的变量意识，对学生来讲能从变元角度思考问题，就等于抓住了解应用性问题的“牛鼻子”，若能再适当了解一些应用性问题的常见背景，那么解决应用性问题就更是如虎添翼了.所以在应用问题的复习教学中，应紧紧把握变元这条主线，这应该是应用题复习教学的重点，例题选择侧重于不同背景的问题，对于同一问题注重变式（背景变换）教学，以利于学生能更好得弄清各变元之间的关系，这应该是应用题复习教学的难点.

“抓重点，变元思想是主线；破难点，变式教学是关键.”

具体教学操作举例如下： 教学路线图：

从给定变元→选择变元；

从给定模式→背景变换（变式教学）； 从单一主元→多参变元.

例、有一块边长为4的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）. （1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1.

变换背景（变式教学）

变式1:由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1

解法1：由题中的三个重要信息，①切割、焊接；②材料浪费减少；③V2＞V1（教学中在此要强调审题的重要性：审题要慢、要品）.只需把方法1中省余的材料裁成细条接在上面的长方体的上沿即可.

解法2：为了制作简单，利于操作，只需如图分割钢板， 128

则V2＝2×3×1=6> V127

解法3：如图分割钢板再焊接，也满足要求. 128

则V2＝（）×= 42 > V1=

227

2

1

3

变式2 现制作一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你重新设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.(徐州期末）

解：设容器的底面正方形边长为a，容器的高为h，下底面和四个侧面的面积和为S＝16，

2S- a2

则由题意知a+4ah=S,故h=

4a

则V= ah= a

2

22S- a

11= (S- a2) =(Sa – a3) (a>0)

4a44

∴V =0得a1=

/

(负值舍去) 3

32＝≈6.16. 39

2

当a＜ a1时，V是a的增函数；当a＞a1时，V是a的减函数. ∴ 当a =

S时有最大容积，最大容积为36

2

上面的变式实质是在条件a+4ah=S为定值时，求V= ah最大值.学生可把多变元化为一元函数问题用导数求解；也可采用双变元，利用基本不等式求最值，问题变为在约束条件a2+4ah=S下，求a2(2ah)(2ah)的最大值.

变式3 若要把制作长方体容器改为制作圆柱型无盖容器，请你重新设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.问题变为在约束条件πr2+2πrh=S下，求V＝πr2h的最大值，解法同上.

理论可求，实际操作会非常繁琐(如何制作圆？)

请学生谈谈对上述解法的感受.

如图的所示的制作方法应是实际操作中的较好的选择，体积接近最大值，又操作简单. 从数学的角度来看，长、宽、高分别为1，2，3，大小是整数值又比较接近. 对于较好的班级可以增加以下变式：

变式4 请你重新设计切焊方法，使得所制作的无盖长方体容器的容积最大.

解：设容器的底面边长分别为a,b，容器的高为h，下底面和四个侧面的面积和为S＝16，则由题意知

ab +2(a+b)h=S，求V＝abh的最大值.

二、基本题型与基本策略：

基本题型一：

例1. (南京盐城2012届一模)．17．(本小题满分14分)

在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成,BC边的长为2t分米(1 t

32

)；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段余弦

曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为y cosx 1),此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为

98

,此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).

(1)试分别求出函数h1(t)、h2(t)的表达式；

(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

从阅卷情况看，得分并不理想，函数关系都给出了，为什么 …… 此处隐藏：7045字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……