多复变函数论中的偏微分方程组

多复变函数论中的偏微分方程组

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19 9 4年 3月

四 l师范大学学报 ( 1 l自然科学版)J u n lo ih a r lUn v r l ( t r lS in e) o r a fS c u n No ma[e st Na u a ce c y

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第 l卷 7

第2期

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多复变函数论中的偏微分方程组，为近年来偏微分方程研究中引人注目的方向之一.由于此类偏微分方程的研究，偏微分方程定性理论，复变函数 Rimam理论的建立以及对多实变函数对多 e t论的发展，都会产生重要的影响.1偏微分方程组的提出

考虑两个复变数一 - i-= z+ i:+ y, t y的解折函数"一 u x,l屯， ) i(1Y}, ( l} + v x,lz, )则由 C uh— e n, a c yRi man方程组应有一

_,

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在这 4个方程两个未知函数的组里，去，得出“的 4个方程消则

“ 1+“,一 0 1 _,

“+一， “ 0^ f一

() 1 ( 2) ( ) 3

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+“】2 0,—

前两个方程为椭圆抛物型方程，两个方程是超双曲型方程 .程组 ( )方程组后方 1与

““气“一… r 毪； 。…,二 工一 ) I (+一+ 0。…、<等价 .样， (、2和 ( )构成超双曲型方程组 .这由 1) ( ) 3式 2值得研究的问嗣对上述由多复变函数论中所提出的偏微分方程组，以下问题值得进一步探讨： ()解的中量性质 i超双曲型方程F(“)三△;一△ = 0, .∈ R,≥ 2 “ ( m )

( 1)

() 4

的解有中量性质“: (, ) M(, )即中量是 P a的对称函数( M p口= aP,,详见参考文献) .此性质的重要性在于，用它可系统讨论下列各问题：动方程的 C uh利波 a c y问题、征问题、特超双曲型方程的特征问题适定性 . (

i解的拓展性质 i )若“是超双曲型方 ( ) R:域内的正规解，“l。 4在 _而 一若 P在域_一’ _

∑ ( )≤而一 ,∑ ( )≤届一 内定义，它就必然在区域则

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四川师范大学学报 (自然科学版 )

1 7卷

+

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内是定义的.

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此拓展性质的重要性在于，一方面阐明了不适定问题的根源，它另一方面又丰富并有推动实多元函数发展的可能性 .( i广义势解 i) l超双曲型方程 ( )具有广义势解“ 4,“r 1 , 』 1

PJ“出，P, ,,PJl .(

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建立此广义势论，对研究超双曲型方程边值问题提供方便有非解析性和拓展性 .将它 我们的问题是：超双曲型方程组 (,2和 ()是否也具有解的中量性质、展性质和广义对 1) ( ) 3,拓势解？在超双曲型方程和组的定解问题可能性的讨论中，否引出新的函数类，得一方面可解决 可使超双曲型方程定解问题的提法，一方面又会促进多实变函数论的发展？另 研究超双曲型方程与组的提法，两条途径：是讨论解的中量性质，用此性质讨论各类问有一利题的适定性，在中量性质的基础上，并建立解的拓展性，而统一讨论各类问题的不适定性 .是通从二过基本解系统发掘解的性质，此基础上研究解决问题的提法，即是索伯列夫指出的：种定性在这这理论的研究，能大大有助于定解问题的解决 .可 参考文献l Gru r H. d zc eK.多复变数.京： a et F tsh 北科学出版社 .9 8 18

2钟同蒋，沙.元复分析 .黄多石家庄：北教育出版社，9 0 4— 15 1 0 1 2河 1 9 1 5 6{ 7— 8 3吴靳谋等 .学物理方程 (I .北京；数 )科学出版社，9 8 4— 5 1 5:4 24吴新谋等 .学物理方程 ( .数 I)北京：科学出版社 .9 8 2 4 2 3 1 5: 6— 7