利用数值分析法求解土的最大干密度和最优含水量

利用数值分析法求解土的最大干密度和最优含水量

地

陈进安，等：利用数值分析法求解土的最大干密度和最优含水量

基与基础

ＤＩＪＩＹＵＪＩＣＨ　Ｕ　　　　　　　　　

利用数值分析法求解土的最大干密度和最优含水量

２

陈进安１，　李振东

（）安庆市规划设计院，安徽安庆　２合肥华德交通工程咨询有限公司，安徽合肥　２１．４６００３；２．３００７１

摘　要：在土方工程中，土的最大干密度和最优含水量是确保路基压实质量的两个关键指标。文章针对目前利用室内标准击实试提出利用数值分析方法中的牛顿插值和迭代方法来拟合土样的击实曲线，构验确定最大干密度和最优含水量存在的随意性问题，

建关于干密度与含水量之间的函数关系式，对其求导可以得到最大干密度和最优含水量。并利用Ｍａｔｌａｂ编制牛顿插值和迭代的从而简化了求解过程，提高效率和精度。该方法为求解最大干密度和最优含水量提供了理论依据，为处理击实试验数函数代码，

据提供了一种可行的新方法。

关键词：最大干密度；最优含水量；牛顿插值多项式；迭代

（）中图分类号：ＴＵ４１１　　　文献标识码：Ａ　　　文章编号：１６７３５７８１２０１００５０６６７０３－－－

路基、土堤和土坝等填方工程经常采用夯　　地基、

振动或碾压等方法，使土得到压实，以提高土的强打、

减小压缩性和渗透性，从而保证地基和土工建筑度，

１］

。文献［］物的稳定［规范中对填土压实度的控制指２

简单的插值多项式Ｐ（去近似表达一个非常复杂ｘ），的或只能用一张数据表来表示的函数Ｆ（通过插ｘ）将研究复杂函数Ｆ（的问题转化为值多项式Ｐ（ｘ）ｘ）的问题，最终求出满足精度要求研究简单函数Ｐ（ｘ）

５］

。对于ｎ＋１个节点（）（的近似解［ｘｘｉ＝０，１，ｆ（ｉ，ｉ）

…，的插值问题，将ｎ次插值多项式写成如下形式：ｎ）

标是填土的最大干密度和最优含水量。目前，工程单位对于最优含水量和最大干密度两个指标多是采用即通过室内标准击实试验，利用标准化的击图解法，

实仪具，在一定的压实能量下对数个试样进行击实，得到一系列干密度和含水量的数据，然后绘制击实曲线，曲线的峰值点即为所测定试样的最优含水量和最

３，４］

。大干密度［

（Ｐｘ）＝ａｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘ＋ａ＋ｎ（０＋ａ１（０）２（０）１）

…＋ａ（…（（）ｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘ１ｎ（０）１）ｎ１）－

…，其中，为待定系数，形如（式的插ａｋ＝０，１，ｎ）１）ｋ（值多项式成为牛顿插值多项式，插值余项为

Ｒｘ）＝Ｆ（ｘ）ｘ）＝－Ｐｎ（ｎ（

ｎ

试验结果准确与否直接关系到施工压实的程度不准确的结果会导致判断错误，及稳定土体的强度，

造成质量事故。因此，试验过程中要严格控制各项操作的准确性，同时对数据的处理也显得尤为重要。图解法虽然操作简单，工程人员容易掌握，但随机性较大，往往会因技术人员处理数据习惯的不同产生人为即使通过加密试验的方法来进一步近因素的误差，

似，也很难避免此类现象的出现。因而寻求一种既省时、省力、省料，又能尽快地准确地确定土的最佳击实指标的方法，不论是在实验室工作中还是在实际工程中都是非常必要的，也是非常实用的。

…，ｘｘｘｘ－ｘｆ［０，１，ｎ］ｉ）∏（

ｉ＝０

（）２

可由击实试验中测定的ｎ＋１组　　根据上述原理，

利用Ｎ求出一个含水量和干密度值，ｅｗｔｏｎ插值法，将此ｎ次多项式近似作为击实曲ｎ次的插值多项式，

线的函数表达式，然后利用函数求极值的方法即可确定土样的最大干密度及其对应的最优含水量。

２　Ｎｅｗｔｏｎ插值多项式及Ｍａｔｌａｂ实现

因此Ｎｅｗｔｏｎ插值多项式的建立过程较为繁琐，在实际工程和实验过程中利用Ｍａｔｌａｂ来实现多项式的建立，可提高效率。Ｍａｔｌａｂ在科学计算中有着独特的优势，利用Ｍ数值计ａｔｌａｂ可以进行程序设计、

６］

，算、图形绘制、输入输出和文件管理等各项操作［已知试验数据见表１所列。

１　建立干密度与含水量的插值函数

数值分析方法中插值方法的基本原理为用一个

收稿日期：２０１００７０６－－

，作者简介：陈进安（男，安徽安庆人，安庆市规划设计院工程师．１９６４－）

《工程与建设》０１０年第２４卷第５期　２６６７　

利用数值分析法求解土的最大干密度和最优含水量

地基与基础

陈进安，等：利用数值分析法求解土的最大干密度和最优含水量

导数为

４　

５

＊

４．５２２５０－．４２２９５４＊ｘ＋．１１４８９４３ｅ１ｘ＾２－　　　　－＊６５２ｅ４ｘ＾３．７６４　－

ＤＩＪＩＹＵＪＩＣＨ　Ｕ　　　　　　　　　

表１　击实试验数据

项　目

试样编号

１　

２　

３　

（含水量／％）１８．９５０．７５２．１４．６５７．２５　２　２　２　２（·ｃ干密度／１．６７６．７８０．７５８．６０６．４７８ｍ－３）　１　１　１　１ｇ

由此可以看出，该一阶导数是一元非线性方程，求它的解析很困难，但采用数值方法可以很容易地求它的近似解，又称数值解。迭代法是数值分析中一类迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方典型方法，

法，其中Ｎｅｗｔｏｎ法就是把非线性方程线性化的一种方法。

设ｘ利用（ｘ）＝０的一个近似根，２）ｋ为方程Ｇ（式的Ｎ反复迭代求解，直到求出满ｅｗｔｏｎ迭代格式，足精度要求的根。

利用上述原理，可根据经验首先确定最优含水量在此范围内选一值为近似值，反复迭代的大致范围，

求解，即可求出Ｇ（ｘ）＝０的满足精度要求的根ｘ＊，即为最优含水量，值即为最大干密度。Ｐ（ｘ＊）

采用Ｎ因此在ｅｗｔｏｎ迭代法计算过程较为繁琐，实际工程应用和实验中，可以利用Ｍａｔｌａｂ编写

（）的代码，然后Ｎｅｗｔｏｎ迭代公式的函数Ｎｅｗｔｏｎｒｏｏｔ在Ｍａｔｌａｂ命令窗口输入：

＊

（ｅｗｔｏｎｒｏｏｔ′４．５２２５０－．４２２９５４ｘ＋＞＞ｘ＝Ｎ　　

＊＊

，，）．１１４８９４３ｅ１ｘ＾２－．７６４６５２ｅ４ｘ＾３′２０２２　　－　－

按回车键可得ｘ＝２再输入：０．９８，

＊＊

３１．６８０３＋４．５２２５０ｘ－．２１１４７７ｘ＾２＋＞＞　　　ｐ＝－

ａｔｌａｂ中编制相应的牛顿插值函数Ｎｅｗｔｏｎ　　在Ｍ

（的代码，在Ｍｘ，ａｔｌａｂ的命令窗口Ｃｏｍｍａｎｄｙ）Ｗｉｎｄｏｗｓ直接输入：

］；１８．９５２０．７５２２．１２４．６５２７．２５＞＞ｘ＝［　　　　

］；１．６７６１．７８０１．７５８１．６０６１．４７８＞＞ｙ＝［　　　　（ｅｗｔｏｎｘ，＞＞Ｐ＝Ｎｙ）

按回车键后得到牛顿插值函数为

＊＊

Ｐ＝－３１．６８０３＋４．５２２５０ｔ－．２１１４７７ｔ＾２＋　　　

．３８２９８１ｅ２ｔ＾３－．１９１１６３ｅ４ｔ＾４　－　－在编辑窗口输入：

＝１８．９５：０．０１：２７．２５；＞＞ｔ

１．６８０３＋４．５２２５０＊ｔ－．２１１４７７＊＞＞ｚ＝－３