利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介：

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf x 0 及limg x 0；

x a

x a

(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；

f x

l， (3)lim

x ag x那么 lim

x a

f x gx=lim

x a

f x

l。 g xx

x

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)limf x 0 及limg x 0； (2) A 0，f(x) 和g(x)在 ,A 与 A, 上可导，且g'(x)≠0； (3)lim

x

f x

l， gxf x

l。 那么 lim=lim

x gxx g x法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf x 及limg x ；

x a

x a

f x

(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；

f x

l， (3)lim

x ag x那么 lim

x a

f x gx=lim

x a

f x

l。 g x

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ○成立。

a

，x

a

洛必达法则也

0 00

，，0 ，1， ，0， 型。 0

0 00

3在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，0 ，1， ，0， 型○

0

2洛必达法则可处理○

定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这

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时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ○

二．高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数f(x) ex 1 x ax2。

（1） 若a 0，求f(x)的单调区间； （2） 若当x 0时f(x) 0，求a的取值范围 原解：（1）a 0时，f(x) ex 1 x，f'(x) ex 1.

当x ( ,0)时，f'(x) 0；当x (0, )时，f'(x) 0.故f(x)在( ,0)单调减少，在(0, )单调增加

（II）f'(x) ex 1 2ax

由（I）知e 1 x，当且仅当x 0时等号成立.故

x

f'(x) x 2ax (1 2a)x，

1

时，f'(x) 0 (x 0)，而f(0) 0， 2

从而当1 2a 0，即a

于是当x 0时，f(x) 0.

由e 1 x(x 0)可得e

x

x

1 x(x 0).从而当a

1

时， 2

f'(x) ex 1 2a(e x 1) e x(ex 1)(ex 2a)，

故当x (0,ln2a)时，f'(x) 0，而f(0) 0，于是当x (0,ln2a)时，f(x) 0.

综合得a的取值范围为 ,

1 2

原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当x 0时，f(x) 0，对任意实数a,均在f(x) 0；

当x 0时，f(x) 0等价于a

x

x 1

x

2

令

g x

x

x

x 1

x

x

2

(x>0),则

g (x)

x

x 2 x 2

xx

x

x

3

，

x

令

h x xe 2e x x xe e ，则h0 x2 1，h x xe 0，

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知h x 在 0, 上为增函数，h x h 0 0；知h x 在 0, 上为增函数，

h x h 0 0； g x 0，g(x)在 0, 上为增函数。

由洛必达法则知，

lim

x 0

x

x 1

x

2

1

lim lim ，

2x 0 2xx 0 2

xx

故a

1

2

综上，知a的取值范围为 ,

1 。 2

2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

x 2y 3 0。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x 0，且x 1时，f(x)

lnxk

，求k的取值范围。 x 1x

(

原解：（Ⅰ）f'(x)

x 1

lnx)

b

(x 1)2x2

f(1) 1,

1

由于直线x 2y 3 0的斜率为 ，且过点(1,1)，故 1即

2f'(1) , 2

b 1,

a1

b , 22

解得a 1，b 1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)

lnx1

，所以 x 1x

lnxk1(k 1)(x2 1)

f(x) ( ) (2lnx )。 2

x 1x1 xx

(k 1)(x2 1)(k 1)(x2 1) 2x

(x 0)，则h'(x) 考虑函数h(x) 2lnx 。

x2xk(x2 1) (x 1)2

（i）设k 0，由h'(x) 知，当x 1时，h'(x) 0，h（x）递减。而2

x

h(1) 0故当x (0,1)时， h(x) 0，可得

1

h(x) 0； 2

1 x

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1

h（x）>0 1 x2lnxklnxk

从而当x>0,且x 1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

x 1xx 1x

当x （1，+ ）时，h（x）<0，可得

（ii）设0<k<1.由于(k 1)(x2 1) 2x=(k 1)x2 2x k 1的图像开口向下，且

4 4(k 1)2 0，对称轴x=

'

11

1当x （1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,1 k1 k.

11

）时，h（x）>0，可得h2

1 k1 x

'

故h （x）>0,而h（1）=0，故当x （1（x）<0,与题设矛盾。

2

（iii）设k 1.此时x 1 2x，(k 1)(x 1) 2x 0 h（x）>0,而h（1）=0，

2

故当x （1，+ ）时，h（x）>0，可得

1

h（x）<0,与题设矛盾。 1 x2

综合得，k的取值范围为（- ，0]

原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II）由题设可得，当x 0,x 1时，k<

2xlnx

1恒成立。

1 x2

x2 1lnx x2 12xlnx

1(x 0,x 1),则g x 2 令g (x)= ，

221 x2

1 x

22

再令h x x 1lnx x 1(x 0,x 1)，则h x 2

1

xlnx

，x

h x 2lnx 1

11

hx 2lnx 1，易知在 0, 上为增函数，且

x2x2

h 1 0；故当x (0,1)时，h x 0，当x （1，+ ）时，h x 0； h x 在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数；故h x >h 1 =0 h x 在 0, 上为增函数 h 1 =0

当x (0,1)时，h x 0，当x （1，+ ）时，h x 0 当x (0,1)时，g x 0，当x （1，+ ）时，g x 0

g x 在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数

由洛必达法则知

limg x 2lim

x 1

x 1

xlnx1 lnx 1

1 2 1 2 1 0 lim2

2x1 x 2 x 1

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k 0，即k的取值范围为（- ，0]

规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题

中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。