第63讲两条直线的位置关系与对称问题

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第63讲 两条直线的位置关系与对称问题

【学习目标】

1．掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题． 2．掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法．并能利用图形的对称性解决有关问题． 1 ．已知直线ax－2y－1＝0和直线x－y＋2＝0互相垂直，则 a的值为 ( )

A．1 B．－1

3

C．－2

3 D．－2

【解析】由题设可得a

2×1＝－1，因此a＝－2，故选D.

2．实数a＝0是直线x－2ay＋1＝0和2x－2ay＋1＝0平行的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

【解析】直线x－2ay＋1＝0和2x－2ay＋1＝0平行，则1×(－2a)－(－2a)×2＝0，得a＝0.

而a＝0时，直线x＋1＝0与2x＋1＝0平行，故选C.

3．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0，若直线l2和l1关于直线l对称，则l2的方程是 ( ) A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0

【解析】设A(x，y)，A1(x1，y1)分别是直线l2、l 1

上关于l对称的点．

y1－y·1＝－1

则 x1－x x＋xy＋y，求得 x1＝y＋1 y＝x－1

①

111 2－21＝0

又点A1(x1，y1)在直线l1上，则2x1－y1－2＝0② 将①代入②得2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即x－2y－1＝0，故选B.

4．直线l1：x＋y＝0，l2：3x－y－6＝0和x轴围成的三角形的面积等于　 .

3 【解析】 由 x＋y＝0

x＝2 0

得 ，又直线 3x－y－6＝ y＝－3

2l 1与x轴相交于点O(0,0)，

直线l2与x轴相交于点(2,0) ，从而围成的三角形的面积S＝12×|－3

2×2＝ 3 2.

【知识要点】 1．两直线的位置关系的判定 方法一：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1不同为0；A2、B2不同为0)． (1)l与lA2相交 1B2≠A2B1 (AB1A2B2)，特况：l1⊥l2

A1A2＋B1B2＝0.

(2)llA1B2＝A1与2平行 A1C2≠ACA2BB1

且

21(或B1C2≠CB2C1)(A2B2C2) (3)l1与l2重合 A1B2＝A2B1

且

A1C2＝A2C1(或B1C2＝BA2C1)(1B1C1

A2B2C2

) 方法二：若直线l1和l2存在斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则

(1)直线l1∥l2的充要条件是 .(2)直线l1⊥l2的充要条件是 .若l1和l2的斜率都不存在，则l1与l2 ．若l1和l2中有一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为0，则 .

2．点到直线的距离，两条平行线的距离

(1)设点P(x0，y|Ax0)，直线l＋：CAx|

＋By＋C＝0，则P到l

0＋By0的距离：dA＋B ；

(2)两条平行直线l1：Ax＋By＋C－1＝0，lC2：Ax＋By

|C12|

＋C2＝0之间的距离：dA＋Bl1和l2的方程必须满足一次项对应系数 )

相同．3．中心对称

(1)设平面上的点M(a，b)、P(x，y)、P′(x′，

y′)x＋x′2ay＋y′

2

＝b，那么，我

们称P、P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心．

(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则：

x′＝2x0－x

y′＝2y0－y

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5【解析】．已知两点A(3,2)和|3mB(＋－5|1,4)到直线|－m＋mx7|＋y＋3＝0的距离相等，则实数由题设mm＋1m＋1，即|3m＋5|＝

|m－7|，

求得m＝1

2m＝－6.

一、对称问题

例1已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

【解析】 (1)设A′(x0，y0)和A(－1，－2)关于直

线l对称．

y 0

＋22

33则 x＝－10＋ x0＝－ 13x，解得13

0y2

0－

－12－32＋1＝0 y0＝413，即A ′

的坐标为(－3313，4

13)．

(2)由 2x－3y＋1＝0 x＝4 解得 ， 3x－2y－6＝0 y＝3

即直线

l与m的交点B(4,3)在直线m′上．又在直线

m：3x－2y－6＝0上取一点P(2,0)，

设P(2,0)关于2x－3y＋1＝0的对称点为P′(y1)， x1，

y12＝－1 x61＝则 x 1－23 ，解得

13

x1＋2－y＋1＝0 y301＝

22

13即

P′(63013 ，13

．

由对称性可知 P′(630 1313

在直线m′上． 3－

30

从而直线 m′的方程为y－3＝13x－4)，

4－613

即

9x－46y＋102＝0. 三、距离公式和直线系及应用

例3已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

4．轴对称

(1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0，和两点P(x，y)、P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：①

PP′⊥直线l；② PP′的中点在直线l上，则点P、P′关于直线l对称．(2)对称轴是特殊直线的对称问题

对称轴是特殊直线时的对称问题可直接通过代换法得解：

①关于x轴对称(以

－y代 )y；②关于y轴对称(以

－x代 )x；③关于y＝x对称(

x、y互换)； ④关于x＋y＝0对称(以－ x代 y，以 －y代 )x；⑤关于x＝a对称(以

2a－x代 )x；⑥关于y＝b对称(

以

2b－y代 )y．(3)对称轴为一般直线的对称问题

可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：

设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则

二、两直线位置关系及应用

例2已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

【解析】(1)由已知可得l2的斜率必存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.

又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，即b＝3a－4＝－1≠0(不合题意)，∴此种情况不存在，即k2≠0.

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【解析】(1)依题设可设l方程为(2x＋y－5)＋λ(x

若k2≠0，即k1、k2都存在，∵k2＝1－a，k1

－2 y)＝0，

a

即(2＝，l1⊥l2， ＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， b

|10＋5λ－5| A(5,0)到l的距离d＝a则点 ＝3 …… 此处隐藏：3115字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……